Rappresentazione parametrica di una retta passante per due punti:

[Magister1]

Ho i punti$ A(1,2,0)$ e $B(1,0,2)$, ora mi calcolo $v(0,-2,2)$ ed ottengo la seguente rappresentazione parametrica:
$x=1$
$y=2-2t$
$z=2t$
ora come faccio a ricavarmi una rappresentazione cartesiana? io ho posto t=z ottenendo:
$x-1=0$
$y-2+2z=0$
$z=0$
$t=z$
qual'è la rappresentazione cartesiana? dove sbaglio?

[mickey88]

Ciao,
la rappresentazione parametrica che hai ottenuto è corretta, se chiami $r$ la tua retta hai $r: A + tv$.
La nostra $r$ è una retta nello spazio tridimensionale. Per ottenere una rappresentazione cartesiana, devvi trovare delle relazioni che leghino tra di loro i tre parametri dello spazio $x,y,z$. Poichè vuoi rappresentare un oggetto di dimensione 1 immerso in uno spazio di dimensione 3, non ti basta una sola equazione lineare ma te ne servono due: significa che rappresenti la retta come intersezione di due piani. Chiaramente, poichè i due punti hanno entrambi prima coordinata $x=1$, la retta giace sul piano di equazione $x=1$, che sarà quindi la tua prima equazione. L'altra la ottieni isolando $t$ nella seconda e terza equazione che hai scritto:
\begin{cases}
t = (x-y)/2 \\
t = z/2
\end{cases}
da cui $z=2-y$. Pertanto la tua retta è rappresentata in forma cartesiana dal sistema
$$ \begin{cases} x=1 \\ z=2-y \end{cases} $$
Spero di non aver fatto errori di calcolo