Rappresentazione di un endomorfismo
Sia V uno spazio vettoriale euclideo ed R (a,b,c) un suo riferimento,
Rappresentare un endomorfismo non identico g che trasformi il sottospazio generato da a+b in sè.
Dunque:
g(a+b)=a+b=1a+1b+0c
ora , dato che $Img=$ ha dimensione 1, $dimKerg$=2.
Quindi devo completare la base di V' con due vettori in modo da ottenere una base di V, inoltre, dato che $dimKerg=2$, la loro immagine sarà il vettore nullo:
Una base potrebbe essere $(a+b,a,c)$
$g(a)=(0,0,0)$
$g(c)=(0,0,0)$
Dunque il mio endomorfismo, avrà come matrice associata la matrice aventi per j-esima colonna , le componenti dei vettori immagine del j-esimo vettore della base:
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ quindi il mio endomorfismo è:
$ ((y_1),(y_2),(y_3))=( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )*((x_1),(x_2),(x_3)) $
E' giustO', dv ho sbagliato?
Rappresentare un endomorfismo non identico g che trasformi il sottospazio generato da a+b in sè.
Dunque:
g(a+b)=a+b=1a+1b+0c
ora , dato che $Img=
Quindi devo completare la base di V' con due vettori in modo da ottenere una base di V, inoltre, dato che $dimKerg=2$, la loro immagine sarà il vettore nullo:
Una base potrebbe essere $(a+b,a,c)$
$g(a)=(0,0,0)$
$g(c)=(0,0,0)$
Dunque il mio endomorfismo, avrà come matrice associata la matrice aventi per j-esima colonna , le componenti dei vettori immagine del j-esimo vettore della base:
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ quindi il mio endomorfismo è:
$ ((y_1),(y_2),(y_3))=( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )*((x_1),(x_2),(x_3)) $
E' giustO', dv ho sbagliato?
Risposte
Non capisco perché ricorri ad uno spazio $V'$ con un'altra base.
Tu devi costruire un endomorfismo su $V$, spazio di dimensione $3$ che ha per base i vettori $a,b,c$ e tale che $g(a+b)=a+b$.
Io più semplicemente osserverei, sfruttando la linearità di $g$ che si ha $g(a)+g(b)=a+b$, scegliendo allora $g(a)=a,g(b)=b$; per far sì che non sia l'identità impongo che $g(c)=0$.
Pertanto la matrice associata al mio endomorfismo dovrebbe essere $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$.
Non so se c'è qualche errore, controlla, ma mi pare la strada più semplice!
Tu devi costruire un endomorfismo su $V$, spazio di dimensione $3$ che ha per base i vettori $a,b,c$ e tale che $g(a+b)=a+b$.
Io più semplicemente osserverei, sfruttando la linearità di $g$ che si ha $g(a)+g(b)=a+b$, scegliendo allora $g(a)=a,g(b)=b$; per far sì che non sia l'identità impongo che $g(c)=0$.
Pertanto la matrice associata al mio endomorfismo dovrebbe essere $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$.
Non so se c'è qualche errore, controlla, ma mi pare la strada più semplice!
Capito.
L'esercizio poi continua così: g conserva il prodotto scalare?
La risposta, in entrambi i casi, sia per la mia matrice che per la tua, è negativa, poichè affinchè un endomorfismo conservi il prodotto scalare deve essere necessariamente un isometria, e dunque la matrice associata deve essere ortogonale.
Dato che una matrice ortogonale, deve avere necessariamente determinante in modulo 1 (non vale il viceversa), e le nostre non hanno tale determinante, la nostra g non conserva il prodotto scalare.
E'giusto?
L'esercizio poi continua così: g conserva il prodotto scalare?
La risposta, in entrambi i casi, sia per la mia matrice che per la tua, è negativa, poichè affinchè un endomorfismo conservi il prodotto scalare deve essere necessariamente un isometria, e dunque la matrice associata deve essere ortogonale.
Dato che una matrice ortogonale, deve avere necessariamente determinante in modulo 1 (non vale il viceversa), e le nostre non hanno tale determinante, la nostra g non conserva il prodotto scalare.
E'giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo