Rappresentazione di spazi vettoriali
Salve a tutti, ripetendo bene le basi della geometria (spazi vettoriali e applicazioni lineari) mi è sorto un dubbio.
Premetto: dato un generico campo $\mathbb{K}$, si ha che $\mathbb{K}^n$ (con $n \in NN \setminus {0}$) è uno spazio vettoriale. In tal caso risulta evidente che ogni vettore di tale spazio è una ennupla di coordinate a elementi in $\mathbb{K}$, ovvero si ha la rappresentazione seguente:
$v= ((x_1),(\vdots),(x_n)) \forall v \in \mathbb{K}^n$ e con $x_1,...,x_n \in \mathbb{K}$.
Ora, tale notazione si può estendere a ogni tipo di sottospazio? Perché mi è parso di vedere in più dispense l'utilizzo di tale notazione per indicare le coordinate di un vettore di un generico spazio vettoriale. Come ad esempio nel caso in cui era necessario introdurre il concetto di equazione cartesiana ed equazione parametrica....
Non credo si possa generalizzare e nel contempo utilizzare la notazione appena descritta, o sbaglio?
Vi ringrazio in anticipo della partecipazione!
Premetto: dato un generico campo $\mathbb{K}$, si ha che $\mathbb{K}^n$ (con $n \in NN \setminus {0}$) è uno spazio vettoriale. In tal caso risulta evidente che ogni vettore di tale spazio è una ennupla di coordinate a elementi in $\mathbb{K}$, ovvero si ha la rappresentazione seguente:
$v= ((x_1),(\vdots),(x_n)) \forall v \in \mathbb{K}^n$ e con $x_1,...,x_n \in \mathbb{K}$.
Ora, tale notazione si può estendere a ogni tipo di sottospazio? Perché mi è parso di vedere in più dispense l'utilizzo di tale notazione per indicare le coordinate di un vettore di un generico spazio vettoriale. Come ad esempio nel caso in cui era necessario introdurre il concetto di equazione cartesiana ed equazione parametrica....
Non credo si possa generalizzare e nel contempo utilizzare la notazione appena descritta, o sbaglio?
Vi ringrazio in anticipo della partecipazione!
Risposte
Si, si utilizza tale notazione per indicare un vettore di uno spazio vettoriale generico una volta fornita una base. In pratia, data una base di $V$, è naturale definire un isomorfismo tra $V$ e $\mathbb{K}^n$ che associa ad ogni vettore di $V$ uno e un solo vettore colonna di $\mathbb{K}^n$.
.... Quindi tale rappresentazione deriva solo da quell'isomorfismo.. Capisco, interessante..
Quindi in generale le equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio $W$ di un generico spazio vettoriale $V$ si ricavano determinando le equazioni del relativo sottospazio dello spazio $\mathbb{K}^n$ a cui lo spazio $V$ è isomorfo?
Quindi in generale le equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio $W$ di un generico spazio vettoriale $V$ si ricavano determinando le equazioni del relativo sottospazio dello spazio $\mathbb{K}^n$ a cui lo spazio $V$ è isomorfo?
Esatto.
Cavolo.... Interessante.... Molto interessante.... Ti ringrazio 
Più che interessante, questa è una nozione cruciale di qualsiasi corso di introduttivo di algebra lineare. Hai fatto bene a chiedere, ma ricordati di esercitarti per prendere piana padronanza. Ciao!
Mmmh.... Certo!! Grazie del consiglio!!
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