Rappresentazione di circoli mediante matrici hermitiane
Ciao. Data una matrice hermitiana \( \mathfrak C=\bigl(\begin{smallmatrix}A & B\\ C & D\end{smallmatrix}\bigr) \) tale che almeno una delle entrate \( A \), \( B \) e \( C \) siano non-nulle, in quale misura è possibile dire che l'equazione associata
\[
Az\overline z + Bz + C\overline z + D = 0
\] rappresenta un circolo in \( \mathbb C \)?
Se \( A\neq 0 \) la cosa è immediata: basta porre \( \gamma=-\overline B/A \) e \( \rho=\lvert B/A\rvert-D/A \). Leggo però sul Geometry of complex numebrs di Schwerdtfeger che una matrice hermitiana come quella lì sopra è detta "rappresentante" di un circolo \( \mathfrak C \) indipendentemente dall'appartenenza di \( A \) a \( \mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\} \).
In qual modo, se \( A=0 \), ci si può ricondurre ad un'equazione della forma
\[
(z-\gamma)(\overline z - \overline\gamma)=\rho^2
\] partendo dalla \( Bz + B\overline z + D = 0 \)?
(In qualche momo dovrebbe essere rilevante la riflessione del circolo unitario \( \lambda\colon z\mapsto 1/\overline z \), ma di più non so dire c:).
Penso che potrebbe essermi anche utile dimostrare che, date due matrici hermitiane \( \mathfrak C \) e \( \mathfrak C_1 \), esse rappresentano lo stesso circolo se e solo se \( \mathfrak C_1 = \lambda\mathfrak C \), per qualche \( \lambda > 0 \). Ho che, assunto \( \mathfrak C_1 = \lambda\mathfrak C \), la cosa è banale. Ma nell'altra direzione come faccio? Devo provare che, poste \( \mathfrak C=\bigl(\begin{smallmatrix}A & B\\ C & D\end{smallmatrix}\bigr) \), \( \mathfrak C_1=\bigl(\begin{smallmatrix}A_1 & B_1\\ C_1 & D_1\end{smallmatrix}\bigr) \), se i due insiemi
\[
\begin{align*}
\mathfrak C &= \left\{z\in\mathbb C:Az\bar z + Bz + C\bar z + D = 0\right\}\\
\mathfrak C_1 &= \left\{z\in\mathbb C:A_1z\bar z + B_1z + C_1\bar z + D_1 = 0\right\}
\end{align*}
\] sono uguali, allora, per le matrici, è \( \mathfrak C_1 = \mathfrak C_1 \). Assumo, ad esempio, che quei due insiemi siano non vuoti, ma poi mi blocco.
\[
Az\overline z + Bz + C\overline z + D = 0
\] rappresenta un circolo in \( \mathbb C \)?
Se \( A\neq 0 \) la cosa è immediata: basta porre \( \gamma=-\overline B/A \) e \( \rho=\lvert B/A\rvert-D/A \). Leggo però sul Geometry of complex numebrs di Schwerdtfeger che una matrice hermitiana come quella lì sopra è detta "rappresentante" di un circolo \( \mathfrak C \) indipendentemente dall'appartenenza di \( A \) a \( \mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\} \).
In qual modo, se \( A=0 \), ci si può ricondurre ad un'equazione della forma
\[
(z-\gamma)(\overline z - \overline\gamma)=\rho^2
\] partendo dalla \( Bz + B\overline z + D = 0 \)?
(In qualche momo dovrebbe essere rilevante la riflessione del circolo unitario \( \lambda\colon z\mapsto 1/\overline z \), ma di più non so dire c:).
Penso che potrebbe essermi anche utile dimostrare che, date due matrici hermitiane \( \mathfrak C \) e \( \mathfrak C_1 \), esse rappresentano lo stesso circolo se e solo se \( \mathfrak C_1 = \lambda\mathfrak C \), per qualche \( \lambda > 0 \). Ho che, assunto \( \mathfrak C_1 = \lambda\mathfrak C \), la cosa è banale. Ma nell'altra direzione come faccio? Devo provare che, poste \( \mathfrak C=\bigl(\begin{smallmatrix}A & B\\ C & D\end{smallmatrix}\bigr) \), \( \mathfrak C_1=\bigl(\begin{smallmatrix}A_1 & B_1\\ C_1 & D_1\end{smallmatrix}\bigr) \), se i due insiemi
\[
\begin{align*}
\mathfrak C &= \left\{z\in\mathbb C:Az\bar z + Bz + C\bar z + D = 0\right\}\\
\mathfrak C_1 &= \left\{z\in\mathbb C:A_1z\bar z + B_1z + C_1\bar z + D_1 = 0\right\}
\end{align*}
\] sono uguali, allora, per le matrici, è \( \mathfrak C_1 = \mathfrak C_1 \). Assumo, ad esempio, che quei due insiemi siano non vuoti, ma poi mi blocco.
Risposte
L'unico "circolo" che mi viene in mente è quello Matematico di Palermo…
Circonferenza sa un po' meno di "vecchio".
A parte questo, credo basti farsi un po' di conti in coordinate: certo, le espressioni che vengono fuori faranno schifissimo, ma vabbè… Chi va per questi mari, questi pesci prende.
Circonferenza sa un po' meno di "vecchio".
A parte questo, credo basti farsi un po' di conti in coordinate: certo, le espressioni che vengono fuori faranno schifissimo, ma vabbè… Chi va per questi mari, questi pesci prende.
io pensavo al circolo delle bocce
Comunque questa cosa l'avevo letta su dei vecchi appunti di Candilera, che adesso ha tolto da internet e fanno parte dell'Appendice A del suo libro di testo. Un pdf si trova qui: https://zh.b-ok2.org/book/2766792/5933ab
Proposizione A.2.1
Proposizione A.2.1
"Circolo" l'ho letto in seconda superiore su un vecchio testo dello Zwirner. Io e la mia pigrizia gli siamo diventati amicissimi da lì.
@dissonance Ho guardato sul Candilera, ma non c'è quello che cercavo: non dice come un'equazione del tipo
\[
Bz + \bar B\bar z + D = 0
\] dovrebbe ancora poter essere scritta come \( (z - \gamma)(\bar z - \bar\gamma) = P \), dove \( P \) è un numero reale (non necessariamente positivo!). Se più tardi passo in biblioteca da me, butto un occhio sull'Algebra lineare e geometria (1990), che dovrebbe essere esattamente quegli appunti di cui parli.
@gugo Beh se è solo da far conti, appena ho un attimo di voglia ci provo.
@dissonance Ho guardato sul Candilera, ma non c'è quello che cercavo: non dice come un'equazione del tipo
\[
Bz + \bar B\bar z + D = 0
\] dovrebbe ancora poter essere scritta come \( (z - \gamma)(\bar z - \bar\gamma) = P \), dove \( P \) è un numero reale (non necessariamente positivo!). Se più tardi passo in biblioteca da me, butto un occhio sull'Algebra lineare e geometria (1990), che dovrebbe essere esattamente quegli appunti di cui parli.
@gugo Beh se è solo da far conti, appena ho un attimo di voglia ci provo.
Non capisco, la prima equazione è di primo grado, la seconda di secondo grado, non possono essere equivalenti
"dissonance":
Non capisco, la prima equazione è di primo grado, la seconda di secondo grado, non possono essere equivalenti
Appunto.
Tra l’altro $Bz + bar(Bz) +D =0$ equivale a $text(Re)(Bz) = -D/2$, ha senso solo se $D in RR$ ed è l’equazione di una retta.
Eh lo so. Riporto però testualmente ciò che lo Schwerdtfeger scrive a pagina 10, nel primo esempio:
Sono riuscito a dimostrare quella cosetta sulla dipendenza lineare, comunque.
Detto ciò, vorrei chiedere un'altra cosa. A pagina 10 c'è l'esercizio seguente:
1.Straight lines, being special cases of circles, are also represented by hermitian matrices \( \mathfrak C \), viz. those for which \(A = 0 \).Anyway, credo sia semplicemente "abuso di linguaggio". (Che può essere, dato che altrove quantità negative sono chiamate spesso con \( \rho^2 \). Ma è un libro del '62...)
Sono riuscito a dimostrare quella cosetta sulla dipendenza lineare, comunque.
La dimostrazione vale ovviamente anche per circonferenze immaginarie, a patto di non chiamare \( \rho^2 \) quello che sarebbe il raggio di una circonferenza reale se il discriminante fosse negativo.
Detto ciò, vorrei chiedere un'altra cosa. A pagina 10 c'è l'esercizio seguente:
(a). Express the non-zero coefficients of the hermitian matrix of a straight line, viz. B, C, D, by means of the distance \( p \) of the line from the origin of the coordinate system, and the angle \( \theta \) which the distance vector makes with the x-axis.Scrivere una generica retta nel piano di Gauss come un insieme del tipo \( \zeta_0 + e^{i\theta}\mathbb R \) non serve a molto. La devo pensare come tot di vettori perpendicolari a questo vettore distanza. Avete qualche suggerimento?
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