Rappresentazione cartesiana di f(W).
Sia dato l'endomorfismo \(\displaystyle f: \) $RR$\(\displaystyle ^3 \) \(\displaystyle \to \) $RR$\(\displaystyle ^3 \) definito nel modo seguente:
\(\displaystyle f((x,y,z)) \) \(\displaystyle = \) \(\displaystyle (x+y,x+y,x+y+z) \)
Determinare un rappresentazione cartesiana di \(\displaystyle f(W) \), con \(\displaystyle W: x-3z=0 \).
Prima di affrontare questo esercizio pensavo di aver abbastanza chiari i concetti base di questa materia, ma non riesco a calcolare \(\displaystyle f(W) \) che dovrebbe essere un esercizio piuttosto banale. Per iniziare ho trovato la matrice
\(\displaystyle A \) \(\displaystyle = \) $((1,1,0),(1,1,0),(1,1,1))$
che definisce l'endomorfismo, ma non riesco più a procedere.
Ho cercato risposte in tutto il libro di testo, ma nulla, nemmeno online. Spero abbiate la pazienza di chiarirmi questo dubbio.
Grazie anticipatamente, buona giornata.
\(\displaystyle f((x,y,z)) \) \(\displaystyle = \) \(\displaystyle (x+y,x+y,x+y+z) \)
Determinare un rappresentazione cartesiana di \(\displaystyle f(W) \), con \(\displaystyle W: x-3z=0 \).
Prima di affrontare questo esercizio pensavo di aver abbastanza chiari i concetti base di questa materia, ma non riesco a calcolare \(\displaystyle f(W) \) che dovrebbe essere un esercizio piuttosto banale. Per iniziare ho trovato la matrice
\(\displaystyle A \) \(\displaystyle = \) $((1,1,0),(1,1,0),(1,1,1))$
che definisce l'endomorfismo, ma non riesco più a procedere.
Ho cercato risposte in tutto il libro di testo, ma nulla, nemmeno online. Spero abbiate la pazienza di chiarirmi questo dubbio.
Grazie anticipatamente, buona giornata.
Risposte
Una base di W può essere : \(\displaystyle [(3,0,1),(3,1,1)] \). Una base di f(W) sarà allora data da :
\(\displaystyle [f(3,0,1),f(3,1,1)]=[(3,3,4),(4,4,5)] \)
Adesso basta una semplice ispezione di f(W) per concludere che la rappresentazione cartesiana di quest'ultima è ...
Un altro metodo potrebbe essere questo : scriviamo la matrice
\(\displaystyle \begin{pmatrix}3&3&4\\4&4&5\\x&y&z\end{pmatrix} \)
Riduciamola a scalini ed otteniamo :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}3&3&4\\0&0&-1\\0&0&3x-3y\end{pmatrix} \)
Eguagliando a zero i termini dell'ultima **** si ottiene il medesimo risultato del primo metodo.
\(\displaystyle [f(3,0,1),f(3,1,1)]=[(3,3,4),(4,4,5)] \)
Adesso basta una semplice ispezione di f(W) per concludere che la rappresentazione cartesiana di quest'ultima è ...
Un altro metodo potrebbe essere questo : scriviamo la matrice
\(\displaystyle \begin{pmatrix}3&3&4\\4&4&5\\x&y&z\end{pmatrix} \)
Riduciamola a scalini ed otteniamo :
\(\displaystyle \begin{pmatrix}3&3&4\\0&0&-1\\0&0&3x-3y\end{pmatrix} \)
Eguagliando a zero i termini dell'ultima **** si ottiene il medesimo risultato del primo metodo.
Ti chiedo scusa perchè probabilmente sbaglio io, ma le basi di \(\displaystyle W \) non dovrebbero essere del tipo \(\displaystyle (3h,k,h) \) ? Io avrei detto che un suo insieme di base fosse dunque \(\displaystyle {(3,0,1);(0,1,0)} \), è un errore?
Procedendo tenendo conto dell'insieme sopracitato giungo alla conclusione che:
\(\displaystyle f(3,0,1) = (3,3,4) \)
\(\displaystyle f(0,1,0) = (1,1,1) \)
Riducendo con Gauss la matrice \(\displaystyle A = \) $((3,1,x),(3,1,y),(4,1,z))$ ottengo $((3,1,x),(0,-1/3,z-(4/3)x),(0,0,y-x))$.
Eguagliando a 0 i termini dell'ultima riga ottengo un risultato analogo al tuo, per cui è corretto giusto? Grazie per la pazienza
\(\displaystyle f(3,0,1) = (3,3,4) \)
\(\displaystyle f(0,1,0) = (1,1,1) \)
Riducendo con Gauss la matrice \(\displaystyle A = \) $((3,1,x),(3,1,y),(4,1,z))$ ottengo $((3,1,x),(0,-1/3,z-(4/3)x),(0,0,y-x))$.
Eguagliando a 0 i termini dell'ultima riga ottengo un risultato analogo al tuo, per cui è corretto giusto? Grazie per la pazienza
Non c'è nessuno errore: qualunque base di W va bene purché soddisfi le condizioni \(\displaystyle x=3z,y \text{ arbitrario} \).
In altre parole la scelta della base di W non influenza la rappresentazione cartesiana di f(W) che riulterà sempre data da :
\(\displaystyle x-y=0 \)
In altre parole la scelta della base di W non influenza la rappresentazione cartesiana di f(W) che riulterà sempre data da :
\(\displaystyle x-y=0 \)
Ti ringrazio, chiedo ancora venia per la banalità della domanda, ma sono andato in confusione! Grazie mile
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