Rappresentare le rette contenute nel piano
ciao a tutti!!!!
ho un esercizio che mi chiede:
Rappresentare con equazioni cartesiane le rette contenute nel piano $a$ di equazione $x+y+2z+1=0$ e passante per il punto $P(2,-1,-1)$ di $a$
ho pensato di fare la stella di rette per P ma poi non ho idea di come continuare poichè per utilizzare l'appartenenza al piano dovrei avere il determinante della matrice dei coefficienti uguale a 0, ma mi viene una matrice 3x2 e non so che farci.
mi potete aiutare?
Grazie!!
ho un esercizio che mi chiede:
Rappresentare con equazioni cartesiane le rette contenute nel piano $a$ di equazione $x+y+2z+1=0$ e passante per il punto $P(2,-1,-1)$ di $a$
ho pensato di fare la stella di rette per P ma poi non ho idea di come continuare poichè per utilizzare l'appartenenza al piano dovrei avere il determinante della matrice dei coefficienti uguale a 0, ma mi viene una matrice 3x2 e non so che farci.
mi potete aiutare?
Grazie!!
Risposte
Io le scriverei come l'intersezione del fascio dei piani perpendicolari ad $a$ contenenti il punto $P$ con il piano $a$.
mh...ok, ma supponiamo che ill libro ancora non abbia parlato della perpendicolarità e che io abbia solo parallelismo e complanarità, fasci, parametri direttori, di giacitura e la condizione di appartenenza al piano o meno ($al+bm+cn=0$).
se io facessi, invece che la stella di piani, un generico fascio di rette $ax+by+cz+v(a'x+b'y+c'z)=0$ e imponessi il passaggio per il punto P (che poi se non ho capito male è quello che avrei ottenuto con l'intersezione della perpendicolarità dei piani)?
ma anche qui mi blocco perchè, imponendo il passaggio per P avrei $2a-b-c+v(2a'-b'-c')=0$. E ora?
se io facessi, invece che la stella di piani, un generico fascio di rette $ax+by+cz+v(a'x+b'y+c'z)=0$ e imponessi il passaggio per il punto P (che poi se non ho capito male è quello che avrei ottenuto con l'intersezione della perpendicolarità dei piani)?
ma anche qui mi blocco perchè, imponendo il passaggio per P avrei $2a-b-c+v(2a'-b'-c')=0$. E ora?
La perpendicolarità dei piani del fascio (proprio) con il piano originale non è in realtà strettamente necessario. Se prendi un qualsiasi fascio di piani passanti per $P$ e con retta comune non contenuta nel piano $a$, allora l'intersezione di uno qualsiasi di questi piani con $a$ è una retta di $a$ passante per $P$. Infatti, sia $a$ che i piani del fascio contengono $P$ e $a$ non è parallelo a nessuno dei fasci del piano perché questi contengono una retta non contenuta in $a$. L'intersezione sarà quindi una retta.
Quella che hai scritto non è un fascio di rette, ma un fascio di piani in $RR^3$. L'idea principale per creare questo fascio è quella di prendere due piani contenenti $P$ (ovviamente diversi tra di loro) e farne una combinazione lineare (Leggi per esempio qui). A questo punto metti a sistema il tuo fascio di piani con il piano $a$ ottenendo il sistema:
${(\mu (a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1) + \lambda (a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2) = 0),(x + y + 2z +1 = 0):}$
Quella che hai scritto non è un fascio di rette, ma un fascio di piani in $RR^3$. L'idea principale per creare questo fascio è quella di prendere due piani contenenti $P$ (ovviamente diversi tra di loro) e farne una combinazione lineare (Leggi per esempio qui). A questo punto metti a sistema il tuo fascio di piani con il piano $a$ ottenendo il sistema:
${(\mu (a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1) + \lambda (a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2) = 0),(x + y + 2z +1 = 0):}$
ok credo di cominciare a capire.
Ho capito il discorso sul piano $a$ che non essendo parallelo a nessun fascio avrà come intersezione dei piani per $P$ la retta cercata. E ok.
però asp: metto a sistema il fascio generico con il piano $a$
${(mu(a_1x+b_1y+c_1z+d_1)+lambda(a_2x+b_2y+c_2z+d_2)=0),(x+y+2z+1=0):}$
poi impongo il passaggio per $P$?
Ho capito il discorso sul piano $a$ che non essendo parallelo a nessun fascio avrà come intersezione dei piani per $P$ la retta cercata. E ok.
però asp: metto a sistema il fascio generico con il piano $a$
${(mu(a_1x+b_1y+c_1z+d_1)+lambda(a_2x+b_2y+c_2z+d_2)=0),(x+y+2z+1=0):}$
poi impongo il passaggio per $P$?
Quello che ho scritto è la combinazione lineare tra due piani. Devi prendere due piani qualsiasi passanti per $P$. Il primo piano avrà equazione $a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0$ e l'altro $a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0$. La loro combinazione lineare è un fascio proprio con le caratteristiche cercate.
e ok. prendo due piani qualsiasi $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ e $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ passanti per $P(2,-1,-1)$ quindi avrei:
$2a_1-b_1-c_1+d_1=0$ e $2a_2-b_2-c_2+d_2=0$. giusto?
scusami se t'impazzisco e se sembro un povero deficiente, ma con questa materia lo sono in effetti
$2a_1-b_1-c_1+d_1=0$ e $2a_2-b_2-c_2+d_2=0$. giusto?
scusami se t'impazzisco e se sembro un povero deficiente, ma con questa materia lo sono in effetti
Consiglierei il seguente procedimento.
Un vettore perpendicolare al piano ha componenti (1,1,2). Spero siate d'accordo.
Quindi un generico vettore (a,b,c) che giace sul piano deve soddisfare la seguente condizione di perpendicolarità:
a + b + 2c = 0 lasciando solo due parametri liberi. Per esempio ricavo a = -b - 2c
Quindi un vettore lungo la direzione di una di quelle rette che giacciono sul piano ha componenti (-b-2c,b,c)
Posso scegliere b = 1 perchè non sono interessato ad avere la libertà di fissare il modulo di questo vettore e quindi (-1-2c,1,c)
E allora finalmente: (x-2)/(-1-2c) = (y+1)/1 = (z+1)/c
Un vettore perpendicolare al piano ha componenti (1,1,2). Spero siate d'accordo.
Quindi un generico vettore (a,b,c) che giace sul piano deve soddisfare la seguente condizione di perpendicolarità:
a + b + 2c = 0 lasciando solo due parametri liberi. Per esempio ricavo a = -b - 2c
Quindi un vettore lungo la direzione di una di quelle rette che giacciono sul piano ha componenti (-b-2c,b,c)
Posso scegliere b = 1 perchè non sono interessato ad avere la libertà di fissare il modulo di questo vettore e quindi (-1-2c,1,c)
E allora finalmente: (x-2)/(-1-2c) = (y+1)/1 = (z+1)/c
aspetta aspetta che ho capito!!! 
solo una cosa non mi è chiara: perchè puoi liberamente scegliere b=1?
solo una cosa non mi è chiara: perchè puoi liberamente scegliere b=1?
Perchè quando scrivo le equazioni cartesiane della retta con quelle formule, al denominatore posso mettere un qualsiasi vettore lungo la direzione della retta. Questi vettori sono tutti paralleli tra loro e quindi proporzionali. Sceglierne definitivamente uno mi toglie il parametro legato al modulo del vettore medesimo.
Se vuoi capirlo ancora meglio, nella formula con b e c raccogli b, ribattezza c/b con un altro parametro t e semplifica tutte le componenti per b, questo vuol dire prendere un particolare vettore di quella famiglia perchè tutti proporzionali.
Se vuoi capirlo ancora meglio, nella formula con b e c raccogli b, ribattezza c/b con un altro parametro t e semplifica tutte le componenti per b, questo vuol dire prendere un particolare vettore di quella famiglia perchè tutti proporzionali.
è chiaro! certo! e visto che io devo trovare l'equazione cartesiana della retta mi basterà fare
${ ( (x-2)/(-1-2c)=y+1 ),( (z+1)/c=y+1 ):}$
che poi risolto
${ ( x+y(1+2c)-1+2c=0 ),( z-cy-c+1=0 ):}$
mi darà le rette appartenenti a $a$ passanti per $P$ in funzione di c, giusto?
${ ( (x-2)/(-1-2c)=y+1 ),( (z+1)/c=y+1 ):}$
che poi risolto
${ ( x+y(1+2c)-1+2c=0 ),( z-cy-c+1=0 ):}$
mi darà le rette appartenenti a $a$ passanti per $P$ in funzione di c, giusto?
Ok.
Spesso questi problemi si possono risolvere in più modi.
Cerca di utilizzare quello più elegante dal punto di vista logico.
Solitamente è anche il più veloce.
Mi fa piacere vederti entusiasta.
Spesso questi problemi si possono risolvere in più modi.
Cerca di utilizzare quello più elegante dal punto di vista logico.
Solitamente è anche il più veloce.
Mi fa piacere vederti entusiasta.
Probabilmente non sono stato abbastanza chiaro, ma io intendevo scegliere dei piani A CASO. Se prendi dei piani a caso che non siano paralleli ad $a$ e tra di loro e che passano per $P$, puoi scrivere l'equazione di un fascio di piani che li contiene con la formula che ti avevo scritto. $a_1, .., d_1$ e $a_2, .., d_2$ erano quindi numeri che sceglievi tu in modo più o meno casuale. Potevi ad esempio scegliere i piani $x = 2$ e $z = -1$ ottenendo quindi l'equazione del fascio $\mu(x - 2) + \lambda(z + 1) = 0$ e di conseguenza il sistema
${(\mu(x - 2) + \lambda(z + 1) = 0), (x + y + 2z + 1 = 0):}$
per le rette appartenenti al piano e passanti per $P$. Nota che una retta è identificata da $\mu$ e $\lambda$ a meno di una costante moltiplicativa.
${(\mu(x - 2) + \lambda(z + 1) = 0), (x + y + 2z + 1 = 0):}$
per le rette appartenenti al piano e passanti per $P$. Nota che una retta è identificata da $\mu$ e $\lambda$ a meno di una costante moltiplicativa.
ma del tutto casuale, senza una scelta logica?
L'importante è che i $2$ piani siano diversi tra di loro e da $a$ e che contengano il punto. Qualsiasi scelta porta ad un sistema di parametri $\mu$ e $\lambda$ che rappresenta le rette del piano. Fissati i due parametri, si ottiene cioè una retta del piano $a$. Quindi la scelta è a tutti gli affetti casuale.
scusate la mia tardissima risposta, ma non ci sono stato mai a casa.
(Apatriarca, ho capito, eh
ho avuto qualche dubbio sulla tua procedura ma poi ho capito.)
Grazie molte ad entrambi per i preziosi suggerimenti!
Adesso ci sono!
(Apatriarca, ho capito, eh
ho avuto qualche dubbio sulla tua procedura ma poi ho capito.)Grazie molte ad entrambi per i preziosi suggerimenti!
Adesso ci sono!
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