Rapporto molteplicità algebrica-geometrica.
Come si dimostra che la m.algebrica è$>=$ di quella geometrica?
Risposte
Hai provato a fare una ricerca sul forum? Se ne è parlato varie volte.
Ciao!
Dopo il tuo "invito" ho cercato un po' nell'archivio..mi è comparsa solo qualche domanda posta da altri utenti cui non è stata data risposta!
Dopo il tuo "invito" ho cercato un po' nell'archivio..mi è comparsa solo qualche domanda posta da altri utenti cui non è stata data risposta!
Ciao! Provo ad azzardare una dimostrazione, ma non sarebbe male se qualcuno mi correggesse, proprio la conclusione non mi convince!
E' una dimostrazione per assurdo, supponi che $mg(lambda_0)>ma(lambda_0)$. Sappiamo che $V(lambda_0)$ ha come base $(v_1, ... , v_k)$, dove $k=mg(lambda_0)$, completiamo ora questa base in modo che sia una base per lo spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$, avremo quindi la base $(v_1, ... , v_k, g_1, ... , g_(n-k))$. Ora scriviamo la matrice associata a $f$ rispetto a questa nuova base, e ne calcoliamo il determinante, ottenendo il polinomio caratteristico in $lambda$: $P(lambda)= (lambda-lambda_0)^kQ(lambda)$, ora si tratta solo di sfruttare le informazioni che questo polinomio ci dà. Sappiamo che (per ipotesi) $mg(lambda_0)>ma(lambda_0)$, ma dal polinomio vediamo che la molteplicità algebrica di $lambda$ é almeno $k$ (dico almeno perchè potrebbe essere radice anche del polinomio $Q(lambda)$ che non sappiamo cosa effettivamente sia), ma questo è assurdo, stiamo dicendo che $k$ è maggiore della molteplicità algebrica di $lambda_0$ (mentre dovrebbe corrispondere a ques'ultima, ma per ipotesi è stato posto strettamente maggiore).
Lo ammetto, non sono per niente convinta che questa cosa che ho detto alla fine abbia senso....
E' una dimostrazione per assurdo, supponi che $mg(lambda_0)>ma(lambda_0)$. Sappiamo che $V(lambda_0)$ ha come base $(v_1, ... , v_k)$, dove $k=mg(lambda_0)$, completiamo ora questa base in modo che sia una base per lo spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$, avremo quindi la base $(v_1, ... , v_k, g_1, ... , g_(n-k))$. Ora scriviamo la matrice associata a $f$ rispetto a questa nuova base, e ne calcoliamo il determinante, ottenendo il polinomio caratteristico in $lambda$: $P(lambda)= (lambda-lambda_0)^kQ(lambda)$, ora si tratta solo di sfruttare le informazioni che questo polinomio ci dà. Sappiamo che (per ipotesi) $mg(lambda_0)>ma(lambda_0)$, ma dal polinomio vediamo che la molteplicità algebrica di $lambda$ é almeno $k$ (dico almeno perchè potrebbe essere radice anche del polinomio $Q(lambda)$ che non sappiamo cosa effettivamente sia), ma questo è assurdo, stiamo dicendo che $k$ è maggiore della molteplicità algebrica di $lambda_0$ (mentre dovrebbe corrispondere a ques'ultima, ma per ipotesi è stato posto strettamente maggiore).
Lo ammetto, non sono per niente convinta che questa cosa che ho detto alla fine abbia senso....
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