Rapporti tra rango e determinante

[squalllionheart]

Salve vorrei una smentita o conferma rispetto a questa mia affermazione:
"Sia A una matrice $nxn$ se il rango della matrice è minore di n allora il determaniante è nullo".
Grazie a presto.
P.s.
Una dimostrazione qualcuno saprebbe darmela in ogni caso, sia fosse sbagliata sia fosse giusta.
Grazie a presto.

[pic2]

La dimostrazione dipende un po' da come definisci il determinante.
Ad es.

Il det è l'unica forma multilineare alternante che vale 1 su una data base

in questo caso viene ovvio: se metto nel det cose che non sono linearmente indipendenti (come le colonne di una matrice nxn di rango non massimo) ottengo necessariamente 0.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"squalllionheart":"Sia A una matrice $nxn$ se il rango della matrice è minore di n allora il determaniante è nullo".

Giusto.

P.s.
Una dimostrazione qualcuno saprebbe darmela in ogni caso, sia fosse sbagliata sia fosse giusta.

Ricorda che il determinante, visto come funzione delle colonne, è (per definizione, se vuoi) l'unica forma multilineare alternante che vale 1 sulla matrice identica.
Ora una matrice $n xx n$ $A$ le cui colonne sono $v_1,...,v_n$ non ha rango massimo se e solo se esiste una combinazione lineare non nulla $a_1v_1+...+a_nv_n$ che vale identicamente $0$. Ora possiamo supporre per semplicità $a_1 ne 0$ e allora otteniamo una scrittura del tipo $v_1 = b_2v_2+...+b_nv_n$. Ma allora

$det(A) = det(v_1,...,v_n) = det(sum_{i ge 2} b_iv_i,v_2,...,v_n) = sum_{i ge 2} b_i * det(v_i,v_2,...,v_n) = 0$

in quanto $det(v_i,v_2,...,v_n)=0$ per ogni $2 le i le n$ a causa dell'alternanza.

[squalllionheart]

Informazione 1) come faccio a mettere il commento su una vostra affermazine, qual è il tag?
Martino mi spighi bene questa cosa

"Ricorda che il determinante, visto come funzione delle colonne, è (per definizione, se vuoi) l'unica forma multilineare alternante che vale 1 sulla matrice identica. "

Grazi a presto.