Rango righe = rango colonne (intuizione dell'uguaglianza)

[jitter1]

Il rango per righe di una matrice è uguale al rango per colonne: ho capito la dimostrazione, la procedura deduttiva, ma non riesco ad avere una visione intuitiva di questa proprietà. Qualcuno può aiutarmi a trovare una spiegazione che aiuti la "visione"/intuizione di questo teorema?
Grazie, ciao

[lordb]

Puoi vederla così:

-il rango di una matrice quadrata corrisponde, tra le altre cose, al numero di pivot che si ottengono tramite completa riduzione;

-evidentemente il numero di pivot ottenuti da una matrice $A$ è uguale al numero di pivot della sua trasposta $A^t$ (prova a verificarlo per convincertene);

-da qui segue $rank(A)=rank(A^t)$ ovvero il numero di colonne linearmente indipendenti è uguale al numero di righe linearmente indipendenti.

[Emar1]

Anch'io ci sono passato (e ci sto passando tuttora). Se sei all'inizio del corso ti consiglio di aspettare di trattare le applicazioni lineari, i determinanti e soprattutto il prodotto scalare e di conseguenza l'ortogonalità. Avendo a disposizione questi strumenti tutte le magie dei sistemi e delle matrici ti saranno più chiari.

In più nel capire questi concetti a me hanno molto aiutato le lectures di Strang sullo spazio riga/colonna.

[jitter1]

"lordb":Puoi vederla così:
-il rango di una matrice quadrata corrisponde, tra le altre cose, al numero di pivot che si ottengono tramite completa riduzione;

Grande! Adesso sì che è intuitivo, intuitivissimo!

@Sergio: avevo pensato di usare la trasposta, non ci sono riuscita senza inguaiarmi in un circolo vizioso. Invece, passando attraverso i pivot, ora mi è chiaro.

"Emar": ti consiglio di aspettare di trattare le applicazioni lineari, i determinanti e soprattutto il prodotto scalare e di conseguenza l'ortogonalità.

E' vero, a volte ho l'impressione che in questo caso aspettare un po' aiuti. Nel senso che, mentre con la matematica del liceo funzionava nel modo "quando hai capito da dio procedi", qui mi sembra di famigliarizzarmi piano piano con i concetti, anche se sono "discreti". Non dico di barare sul rigore, ma a un certo punto forse è più utile andare avanti e lasciare un po' di tempo all'intuizione, insomma trovare un giusto equilibrio.

Ciao

[Emar1]

"jitter":[quote="Emar"] ti consiglio di aspettare di trattare le applicazioni lineari, i determinanti e soprattutto il prodotto scalare e di conseguenza l'ortogonalità.

E' vero, a volte ho l'impressione che in questo caso aspettare un po' aiuti. Nel senso che, mentre con la matematica del liceo funzionava nel modo "quando hai capito da dio procedi", qui mi sembra di famigliarizzarmi piano piano con i concetti, anche se sono "discreti". Non dico di barare sul rigore, ma a un certo punto forse è più utile andare avanti e lasciare un po' di tempo all'intuizione, insomma trovare un giusto equilibrio.
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Esatto. Quello che hai detto è esattamente quello che penso io. Un po' come nella vita, la classica frase "te lo spiegherò quando sarai più grande" è proprio quello che capita anche in matematica. Avere la comprensione globale di un concetto è un risultato che richiede molto tempo. Spesso è controproducente (e purtroppo è uno dei miei, infiniti ma pur sempre numerabili , tanti vizi) cercare di avere subito un quadro completo della situazione anzichè accettare con un po' di "fede" e un pizzico (poco poco però) di principio di autorità un risultato che in futuro capiremo meglio.
Se non si vuole fare questo, alla prima lezione di fisica I ci troveremmo (alla Landau-Lifshits insomma) a parlare del principio di minima azione di Hamilton . Peccato però che questa ipotetica lezione di fisica dovrebbe essere somministrata come minimo al 4 anno di studi se si volesse conoscere tutta la matematica necessaria per comprenderlo appieno. E non oso immaginare cosa ci riserverebbe la prima lezione di matematica...

Detto ciò ringraziamo sempre di essere in Italia che almeno prima di parlarci di derivata almeno ci fanno il favore di parlarci di spazi metrici, limiti etc

Saluti

[jitter1]

"Emar": Spesso è controproducente (e purtroppo è uno dei miei, infiniti ma pur sempre numerabili , tanti vizi) cercare di avere subito un quadro completo della situazione

Ecco un altro problema: il quadro completo!
Ci sto combattendo da matti in questi giorni.
In pratica tempo fa avevo studiato i concetti fondamentali di algebra lineare e adesso li ho ripresi perché nel frattempo ho dimenticato un po' di cose. E cosa succede? Che prendo una proprietà, per esempio una proprietà del determinante, provo a dimostrarla, lo faccio, mi dico "tiè, fatto!" ma poi... mi accorgo di ragionare in maniera circolare, perché uso teoremi che "vengono dopo" ma mi suonano perché fatti i mesi scorsi. Cioè, magari l'esercizio in se stesso può andar bene, ma il quadro generale della teoria nella mia testa è, appunto, circolare. E' un casino bestiale.

Molto interessanti e chiari i video di Strang!

[Emar1]

Ah questa algebra lineare... E per fortuna che linearizzare significa in qualche modo semplificare!

Sdrammatizziamo un po': http://www.youtube.com/watch?v=gat-beuvhcE

Saluti e buona fortuna

[jitter1]

Troppo forte!!! Simpaticissimi.