Rango matrici con parametro

[Sk_Anonymous]

Ciao, ho qualche difficoltà nel calcolo del rango di matrici che presentano un parametro. Per esempio, sia $A=( ( b , 0 , b+1 ),( 1 , b-1 , 2b ) )$.

Per calcolare il rango, considero il minore $((b, 0),(1, b-1))$ e verifico che è invertibile se e solo se $b$ è diverso da 0 e 1. Quindi, se sono rispettate queste condizioni il rango della matrice è 2. Il libro invece mi dice che il rango è 2 se e solo se $b$ è diverso da $1$, ma non anche da $0$...
Grazie per l'aiuto

[Gi81]

Se $b=0$, la matrice diventa $A=((0,0,1),(1,-1,0))$
E' vero che il minore da te considerato non è invertibile, ma ce n'è un altro che lo è

[Zilpha]

"lisdap":Ciao, ho qualche difficoltà nel calcolo del rango di matrici che presentano un parametro. Per esempio, sia $A=( ( b , 0 , b+1 ),( 1 , b-1 , 2b ) )$.

Per calcolare il rango, considero il minore $((b, 0),(1, b-1))$ e verifico che è invertibile se e solo se $b$ è diverso da 0 e 1. Quindi, se sono rispettate queste condizioni il rango della matrice è 2. Il libro invece mi dice che il rango è 2 se e solo se $b$ è diverso da $1$, ma non anche da $0$...
Grazie per l'aiuto

Se guardi la matrice puoi osservare che per $b=0$ ottieni $ ( ( 0 , 0 , 1 ),( 1 , -1 , 0 ) ) $ che come puoi vedere ha ancora rango 2

[Zilpha]

sono arrivata in ritardo!

[Sk_Anonymous]

Allora, probabilmente non mi è chiaro il procedimento.
Per calcolare il rango, considero una sottomatrice a caso, come quella che ho considerato nel primo post, e ne calcolo il determinante, imponendo che esso sia diverso da 0. Tale determinante mi viene $b(b-1)$, e dunque è diverso da 0 se e solo se $b$ è diverso da 0 e 1.

[Zilpha]

Ricorda che il rango è il massimo ordine dei minori (non nulli) estraibili dalla matrice. Quindi per $b=0$ è vero che il minore che hai considerato non è più invertibile, tuttavia ce n'è un altro che lo è (come ti ha suggerito Gi8).

[Sk_Anonymous]

Allora, i minori che posso estrarre dalla mia matrice sono due.
1) $((0,b+1),(b-1,2b))$;
2) $((b,0),(1,b-1))$.

Nel primo caso, il determinante viene $1-b^2$, dunque la sottomatrice è invertibile se e solo se $b$ è diverso sia da 1 che da -1.
La condizione che b sia diverso da -1, però, non è richiesta dal determinante della seconda matrice, che non si annulla se $b$ è diverso sia da 1 che da 0, come detto prima.
Ma, analogamente, la condizione che $b$ sia diverso da 0, non è richiesta dal primo determante. Dunque, l'unico valore di $b$ che nessuno dei due determinanti deve assumere è 1. Si fa così?

[Zilpha]

Si esatto!

[Zilpha]

hai dimenticato un minore, però. Quello della sottomatrice costituita dalla prima e l'ultima colonna...

[Sk_Anonymous]

Ok, grazie, quindi, ricapitolando, studio il non annullarsi di ognuno dei determinanti di tutte le possibili sottomatrici che posso ricavare dalla mia matrice, e poi seleziono il valore comune che fa annullare il determinante di ognuna delle sottomatrici; tale valore non deve essere assunto da nessuna di esse, altrimenti il loro determinante sarebbe nullo e la matrice non avrebbe il rango che stavo verificando avesse. Se, invece, pongo che è assunto proprio quel valore, allora lo sostituisco in una delle sottomatrici e vedo come si comporta il suon determinante. Ok?

[Zilpha]

ok... certo, andare a vedere, uno per uno, i possibili minori si può fare finchè la matrice ha ordine piccolo... chiaramente per matrici più grandi è un bel problema, ma in tal caso ti verrà in aiuto il teorema degli orlati...