Rango Matrici

[squalllionheart]

Salve ho letto quest'affermazione, vorrei dimostrarla:
Siano A e B due matrici quadratre $nxn$ entrambe di rango massimo allora la matrice AB prodotto delle due precedenti anche essa ha rango massimo.
Ho pensato "Semplice provo per induzione su n ed è fatta"....invece per n=2 facendo il prodotto non riesco a raccogliere i termini in modo da far vedere che le righe sono indipendenti.
Date
$A=((a_11,a_12),(a_21,a_22))$ e $B=((b_11,b_12),(b_21,b_22))$
Allora
$AB=((a_11b_11+a_12b_21,a_11b_12+a_12b_22),(a_21b_11+a_22b_21,a_21b_12+a_22b_22))$
Avete qualche suggerimento?Credevo fosse una cosa flash.

L'altra strada che ho pensato è la seguente: Se il rango delle due matrici singolarmente è massimo allora il determinante di entrambe è diverso da $0$. Ora se il determinante è diverso da $0$ è diverso da $0$ anche il prodotto dei determinanti. Segue che se il determinante della matrice prodotto è diverso da $0$ il rango è certamente massimo.
Io credo che fili, che dite?

[Megan00b]

Certo, ovviamente la strada dei determinanti è quella facile...l'altra è "un po' lunghetta...".

[Dorian1]

"squalllionheart":Se il rango delle due matrici singolarmente è massimo allora il determinante di entrambe è diverso da $0$. Ora se il determinante è diverso da $0$ è diverso da $0$ anche il prodotto dei determinanti.

Certo. Ce lo dice il teorema di Binet:

$det(AB)=det(A)det(B)$ ed è evidente la tua affermazione.

[squalllionheart]

Ok