Rango matrice ordine 4 parametrica
Salve a tutti ho questo quesito che mi chiede di calcolare il rango della matrice A= $[[1,h+1,0,-1],[1,h,h+1,0],[-1,-h-2,1,h+2],[-1,0,-1,-h]]$ al variare del parametro reale h.
Io ho preso una sottomatrice di ordine 2 ad esempio B= $[[1,-1],[1,0]]$ la ho orlata nei 4 modi possibili in questo caso e ho trovato che 3 determinanti valgono zero per h=0 oppure h=-2 mentre il quarto determinate vale zero di suo. Ora prendo una sottomatrice di ordine 3 ad esempio C= $[[1,0,-1],[1,h+1,0],[-1,-1,-h]]$ ho orlato nell'unico modo possibile e ho calcolato il determinante della matrice orlata che mi viene $2h^2+5h+6$...arrivato qui cosa devo concludere?
Io ho preso una sottomatrice di ordine 2 ad esempio B= $[[1,-1],[1,0]]$ la ho orlata nei 4 modi possibili in questo caso e ho trovato che 3 determinanti valgono zero per h=0 oppure h=-2 mentre il quarto determinate vale zero di suo. Ora prendo una sottomatrice di ordine 3 ad esempio C= $[[1,0,-1],[1,h+1,0],[-1,-1,-h]]$ ho orlato nell'unico modo possibile e ho calcolato il determinante della matrice orlata che mi viene $2h^2+5h+6$...arrivato qui cosa devo concludere?
Risposte
[mod="Martino"]Sposto in algebra lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/mod]
Scusate molto ho letto algebra e ho postato senza controllare....errore mio
Ciao,
io ti suggerirei un approccio diverso.
Prendi tutte le possibili matrici 3x3 e vedi se c'é in valore di $h$ tale che tutti i determinanti di queste matrici sono zero
Se non trovi alcun valore comune significa che per qualsiasi valore di $h$, hai almeno sempre un determinante non nullo, quindi il rango é 3.
Se trovi un valore per il quale tutti i determinanti delle 3x3 vanno a zero, allora vedi se tutte le possibili matrici 2x2 hanno determinate pari a zero per quel valore di $h$
se almeno una matrice 2x2 ha determinante diverso da zero, allora il rango é 2
se invece tutte le 2x2 hanno determinante pari a zero, il rango non puó essere che 1
Ziao
io ti suggerirei un approccio diverso.
Prendi tutte le possibili matrici 3x3 e vedi se c'é in valore di $h$ tale che tutti i determinanti di queste matrici sono zero
Se non trovi alcun valore comune significa che per qualsiasi valore di $h$, hai almeno sempre un determinante non nullo, quindi il rango é 3.
Se trovi un valore per il quale tutti i determinanti delle 3x3 vanno a zero, allora vedi se tutte le possibili matrici 2x2 hanno determinate pari a zero per quel valore di $h$
se almeno una matrice 2x2 ha determinante diverso da zero, allora il rango é 2
se invece tutte le 2x2 hanno determinante pari a zero, il rango non puó essere che 1
Ziao
"Summerwind78":
Ciao,
io ti suggerirei un approccio diverso.
Prendi tutte le possibili matrici 3x3 e vedi se c'é in valore di $h$ tale che tutti i determinanti di queste matrici sono zero
ma non è più lungo il procedimento??
Trovi che sia piú lungo?
é possibile, sinceramente io mi trovo piú a mio agio in questo modo.
é possibile, sinceramente io mi trovo piú a mio agio in questo modo.
"Summerwind78":
Trovi che sia piú lungo?
é possibile, sinceramente io mi trovo piú a mio agio in questo modo.
non lo so non era questo il mio dubbio....
"zavo91":Quindi ti viene $det(A)=2h^2+5h+6$? A me viene un altro risultato. Mi viene $det(A)=h^2(h+2)$
...ho orlato nell'unico modo possibile e ho calcolato il determinante della matrice orlata che mi viene $2h^2+5h+6$...
"Gi8":Quindi ti viene $det(A)=2h^2+5h+6$? A me viene un altro risultato. Mi viene $det(A)=h^2(h+2)$[/quote]
[quote="zavo91"]...ho orlato nell'unico modo possibile e ho calcolato il determinante della matrice orlata che mi viene $2h^2+5h+6$...
si io dicevo il determinante di questa che orlata è ovviamente la matrice iniziale C= $[[1,0,-1],[1,h+1,0],[-1,-1,-h]]$....cmq si mi vieni il determinante diverso dal tuo
Puoi postare i calcoli che hai fatto per trovare $det(A)$?
"Gi8":
Puoi postare i calcoli che hai fatto per trovare $det(A)$?
ho la matrice iniziale A= $[[1,h+1,0,-1],[1,h,h+1,0],[-1,-h-2,1,h+2],[-1,0,-1,-h]]$ ho scelto un minore di ordine 3 C= $[[1,0,-1],[1,h+1,0],[-1,-1,-h]]$ e la ho orlata nell'unico modo possibile così facendo diventa la matrice A'= $[[1,0,-1,h+1],[1,h+1,0,h],[-1,-1,-h,0],[-1,-h-2,1,h+2]]$ ho calcolato il determinante per la prima colonna quindi $1*[[h+1,0,h],[-1,-h,0],[-h-2,1,h+2]]$ -$1*[[0,-1,h+1],[-1,-h,0],[-h-2,1,h+2]]$-$1*[[0,-1,h+1],[h+1,0,h],[-h-2,1,h+2]]$-$1*[[0,-1,h+1],[h+1,0,h],[-1,-h,0]]$ per trovare il determinante delle matrici di ordine 3 ho usato la regola di Sarrus e ho riprovato per l'ennesima volta e mi esce un determinate uguale a $-3h^3-8h-4$
$|A|= |[1,h+1,0,-1],[1,h,h+1,0],[-1,-h-2,1,h+2],[-1,0,-1,-h]|=|[1,h+1,0,-1],[0,-1,h+1,1],[0,-1,1,h+1],[0,h+1,-1,-h-1]|=1*|[-1,h+1,1],[-1,1,h+1],[h+1,-1,-h-1]|+0+0+0=|[-1,h+1,1],[-1,1,h+1],[h+1,-1,-h-1]|=
$=|[0,h+1,1],[h,1,h+1],[0,-1,-h-1]|=-h* [ -(h+1)(h+1)-1]=h(h^2+2h+1-1)=h(h^2+2h)=h^2(h+2)$
$=|[0,h+1,1],[h,1,h+1],[0,-1,-h-1]|=-h* [ -(h+1)(h+1)-1]=h(h^2+2h+1-1)=h(h^2+2h)=h^2(h+2)$
"Gi8":
$|A|= |[1,h+1,0,-1],[1,h,h+1,0],[-1,-h-2,1,h+2],[-1,0,-1,-h]|=|[1,h+1,0,-1],[0,-1,h+1,1],[0,-1,1,h+1],[0,h+1,-1,-h-1]|=1*|[-1,h+1,1],[-1,1,h+1],[h+1,-1,-h-1]|+0+0+0=|[-1,h+1,1],[-1,1,h+1],[h+1,-1,-h-1]|=
$=|[0,h+1,1],[h,1,h+1],[0,-1,-h-1]|=-h* [ -(h+1)(h+1)-1]=h(h^2+2h+1-1)=h(h^2+2h)=h^2(h+2)$
che tecnica hai usato per cambiare così la matrice di partenza?
Si sfrutta una proprietà del determinante:
si può sostituire una certa riga con la riga stessa sommata con un altra riga moltiplicata per un coefficiente a nostra scelta,
e il determinante non cambia.
Ad esempio, nel primo passaggio ho sfruttato tre volte questa proprietà, per avere i tre zeri nella prima colonna:
la seconda riga era $[1,h,h+1,0]$; l'ho sostituita con la riga stessa sommata alla prima riga moltiplicata per $-1$,
cioè con $[1,h,h+1,0]+ (-1)*[1,h+1,0,-1]$ che è uguale a $[1-1,h-(h-1),h+1-0,0-(-1)]=[0,-1,h+1,1]$
si può sostituire una certa riga con la riga stessa sommata con un altra riga moltiplicata per un coefficiente a nostra scelta,
e il determinante non cambia.
Ad esempio, nel primo passaggio ho sfruttato tre volte questa proprietà, per avere i tre zeri nella prima colonna:
la seconda riga era $[1,h,h+1,0]$; l'ho sostituita con la riga stessa sommata alla prima riga moltiplicata per $-1$,
cioè con $[1,h,h+1,0]+ (-1)*[1,h+1,0,-1]$ che è uguale a $[1-1,h-(h-1),h+1-0,0-(-1)]=[0,-1,h+1,1]$
"Gi8":
Si sfrutta una proprietà del determinante:
si può sostituire una certa riga con la riga stessa sommata con un altra riga moltiplicata per un coefficiente a nostra scelta,
e il determinante non cambia.
Ad esempio, nel primo passaggio ho sfruttato tre volte questa proprietà, per avere i tre zeri nella prima colonna:
la seconda riga era $[1,h,h+1,0]$; l'ho sostituita con la riga stessa sommata alla prima riga moltiplicata per $-1$,
cioè con $[1,h,h+1,0]+ (-1)*[1,h+1,0,-1]$ che è uguale a $[1-1,h-(h-1),h+1-0,0-(-1)]=[0,-1,h+1,1]$
mmm grazie mille non ci avevo pensato...ok ho trovato il determinate della matrice iniziale e ora per trovare il rango???
Dato che $|A|=h^2(h+2)$, puoio dire che se $h!=0 ^^ h!= -2$ allora $rg(A)=...$ (a te la risposta)
Restano da studiare i casi $h=0$ e $h=-2$
Restano da studiare i casi $h=0$ e $h=-2$
"Gi8":
Dato che $|A|=h^2(h+2)$, puoio dire che se $h!=0 ^^ h!= -2$ allora $rg(A)=...$ (a te la risposta)
Restano da studiare i casi $h=0$ e $h=-2$
se h è diverso da quei due valori allora il rango è 4 in quanto il determinante non si annulla...per studiare gli altri due casi come faccio?
Ti riprendi la matrice iniziale $A= [[1,h+1,0,-1],[1,h,h+1,0],[-1,-h-2,1,h+2],[-1,0,-1,-h]]$
e sostituisci al posto di $h$ prima il valore $0$ e poi il valore $-2$
In entrambi i casi ti calcoli "a mano" il rango, tenendo presente che
1) il rango non può essere $4$, perchè il determinante di $A$ ora è nullo;
2) il rango di $A$ è almeno $2$, perchè c'è un minore di ordine $2$ con determinante non nullo, che avevi trovato tu:
A te i conti
e sostituisci al posto di $h$ prima il valore $0$ e poi il valore $-2$
In entrambi i casi ti calcoli "a mano" il rango, tenendo presente che
1) il rango non può essere $4$, perchè il determinante di $A$ ora è nullo;
2) il rango di $A$ è almeno $2$, perchè c'è un minore di ordine $2$ con determinante non nullo, che avevi trovato tu:
"zavo91":Quindi in entrambi i casi il rango è o $2$ o $3$.
$B= [[1,-1],[1,0]]$
A te i conti
"Gi8":Quindi in entrambi i casi il rango è o $2$ o $3$.
Ti riprendi la matrice iniziale $A= [[1,h+1,0,-1],[1,h,h+1,0],[-1,-h-2,1,h+2],[-1,0,-1,-h]]$
e sostituisci al posto di $h$ prima il valore $0$ e poi il valore $-2$
In entrambi i casi ti calcoli "a mano" il rango, tenendo presente che
1) il rango non può essere $4$, perchè il determinante di $A$ ora è nullo;
2) il rango di $A$ è almeno $2$, perchè c'è un minore di ordine $2$ con determinante non nullo, che avevi trovato tu:
[quote="zavo91"]$B= [[1,-1],[1,0]]$
A te i conti
[/quote]praticamente devo prendere un minore di ordine 2 con determinante diverso da zero orlarlo in tutti i modi possibili e se nel caso i 4 determinanti sono diversi da zero allora rango 3 se sono tutti e quattro uguali a zero allora rango 2 giusto?
"zavo91":
praticamente devo prendere un minore di ordine 2 con determinante diverso da zero orlarlo in tutti i modi possibili e se nel caso i 4 determinanti sono diversi da zero allora rango 3 se sono tutti e quattro uguali a zero allora rango 2 giusto?
Non proprio. Perchè abbia rango $3$ basta che ci sia un minore di ordine $3$ con $det!=0$, non necessariamente tutti.
Invece, se tutti i minori orlati di ordine tre sono a determinante nullo, allora il rango è $2$
"Gi8":
[quote="zavo91"]praticamente devo prendere un minore di ordine 2 con determinante diverso da zero orlarlo in tutti i modi possibili e se nel caso i 4 determinanti sono diversi da zero allora rango 3 se sono tutti e quattro uguali a zero allora rango 2 giusto?
Non proprio. Perchè abbia rango $3$ basta che ci sia un minore di ordine $3$ con $det!=0$, non necessariamente tutti.
Invece, se tutti i minori orlati di ordine tre sono a determinante nullo, allora il rango è $2$[/quote]
aspetta sono un secondo confuso...quindi volendo potrei prendere dalla matrice iniziale un minore di ordine 3 calcolare il determinante se diverso da zero il rango è 3...invece per vedere se rango è 2 prendo un minore di ordine 2 lo orlo e calcolo i determinanti e vedo se sono tutti uguali a zero il rango è due esatto?
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