Rango matrice con metodo dei pivot

[mancamirko89]

Salve ragazzi. Ho un problema nello studio del seguente sistema lineare omogeneo parametrico con il metodo dei pivot (e non solo). Per semplicità scrivo direttamente la matrice dei coefficienti: $((1,k,-1,3),(k,1,3,-k),(1,1,2,-1))$ voglio studiare il rango al variare del parametro k. So per certo che $2<=rg(A)<=3$. Procedo col metodo di eliminazione di gauss per ottenere una matrice a gradini: scambio le righe ottenendo la matrice $((1,1,2,-1),(1,k,-1,3),(k,1,3,-k))$, al posto della 2° metto la seconda meno la prima, al posto della terza metto la terza meno la prima moltiplicata per k, in seguito metto al posto della 3° la terza più la seconda. Ottengo cosi la matrice $((1,1,2,-1),(0,k-1,-3,4),(0,0,-2k,-4k+4))$ che ha tre pivot. Vorrei capire come analizzare adesso il rango al variare di k con il metodo dei pivot. E' evidente che il secondo ($k-1$) si annulla quando k=1, quindi sarei portato a dire che il rango della matrice sia pari a 2 per k=1, ma andando a sostituire e poi verificando il rango mi viene che un minore 3x3 ha determinante non nullo, quindi è evidente che non ho capito bene come funziona questo metodo.
Inoltre vorrei sapere se è possibile usare questo altro metodo per determinare il rango al variare di k per la seguente matrice: calcolo i valori di k per i quali tutti i determinanti dei minori di ordine 3 della matrice A si annullano. Se da tutti i determinanti ottengo 1 o più valori di k comuni, allora so che per quei valori di k il rango di A è uguale a due (per questa matrice naturalmente). Si ottiene sempre la giusta soluzione al problema del calcolo del rango procedendo con questo metodo? vi ringrazio calorosamente per qualsiasi risposta!

[malcon]

beh sostituendo $K=1$ anche se si annulla $k-1$ ottieni comunque una matrice di rango 3 quindi i conti tornano, che si annulli un fattore non vuol dire che si elimini tutta la riga corrispondente che ha ancora altri due termini che non puoi eliminare

Inoltre faccio una osservazione su questa matrice, non so se sia giusta o meno, ma a occhio posso dire che:

i valori per cui i termini con il parametro $k$ si annullano sono: $0$ e $1$, ma per entrambi questi valori il rango della matrice è = 3 quindi presumo che per ogni $k$ appartenente a $RR$ la matrice abbia rango 3.