Rango e autovalori
Ciao a tutti, ho un dubbio di algebra lineare e spero mi possiate dare un aiuto.
Consideriamo una matrice quadrata $A$ di ordine $N$ definita in un campo $mathbb(K)$.
Il nucleo di $A$ è l'autospazio relativo all'autovalore nullo, quindi:
$dim(Ker(A)) = mg(0)$ (molteplicità geometrica)
Per il teorema della nullità più rango si ha:
$rank(A) = N - mg(0)$
1) $A$ è diagonalizzabile
In questo caso risulta sempre che $mg(lambda_k) = ma(lambda_k) AA k$ e quindi:
$rank(A) = N - mg(0) = N - ma(0)$
Il numero di colonne (righe) linearmente indipendenti di $A$ (rango di $A$) è sempre uguale al numero di autovalori non nulli.
2) $A$ non è diagonalizzabile
In questo caso per alcuni autovalori risulta che $mg(lambda_k) < ma(lambda_k)$, quindi si possono verificare due sotto-casi:
2.1) Se risulta che $mg(0) = ma(0)$ continua a valere l'uguaglianza del punto 1:
$rank(A) = N - mg(0) = N - ma(0)$
Il numero di colonne (righe) linearmente indipendenti di $A$ (rango di $A$) è uguale al numero di autovalori non nulli.
2.2) Se risulta che $mg(0) < ma(0)$ vale la disuguaglianza:
$rank(A) = N - mg(0) > N - ma(0)$
Il numero di colonne (righe) linearmente indipendenti di $A$ (rango di $A$) è maggiore del numero di autovalori non nulli.
Volevo chiedervi se il ragionamento è corretto o se ho sbagliato qualcosa. Grazie!
Consideriamo una matrice quadrata $A$ di ordine $N$ definita in un campo $mathbb(K)$.
Il nucleo di $A$ è l'autospazio relativo all'autovalore nullo, quindi:
$dim(Ker(A)) = mg(0)$ (molteplicità geometrica)
Per il teorema della nullità più rango si ha:
$rank(A) = N - mg(0)$
1) $A$ è diagonalizzabile
In questo caso risulta sempre che $mg(lambda_k) = ma(lambda_k) AA k$ e quindi:
$rank(A) = N - mg(0) = N - ma(0)$
Il numero di colonne (righe) linearmente indipendenti di $A$ (rango di $A$) è sempre uguale al numero di autovalori non nulli.
2) $A$ non è diagonalizzabile
In questo caso per alcuni autovalori risulta che $mg(lambda_k) < ma(lambda_k)$, quindi si possono verificare due sotto-casi:
2.1) Se risulta che $mg(0) = ma(0)$ continua a valere l'uguaglianza del punto 1:
$rank(A) = N - mg(0) = N - ma(0)$
Il numero di colonne (righe) linearmente indipendenti di $A$ (rango di $A$) è uguale al numero di autovalori non nulli.
2.2) Se risulta che $mg(0) < ma(0)$ vale la disuguaglianza:
$rank(A) = N - mg(0) > N - ma(0)$
Il numero di colonne (righe) linearmente indipendenti di $A$ (rango di $A$) è maggiore del numero di autovalori non nulli.
Volevo chiedervi se il ragionamento è corretto o se ho sbagliato qualcosa. Grazie!
Risposte
"Shun":
1) $A$ è diagonalizzabile
In questo caso risulta sempre che $mg(lambda_k) = ma(lambda_k) AA k$ e quindi:
$rank(A) = N - mg(0) = N - ma(0)$
Il numero di colonne (righe) linearmente indipendenti di $A$ (rango di $A$) è sempre uguale al numero di autovalori non nulli.
Gli autovalori possono avere molteplicità $>1$, intendevi 'contati con le loro molteplicità'?
Sì sì, intendo il conto degli autovalori considerando le molteplicità algebriche.
Dato che $N = sum ma(lambda_i)$ allora $N - ma(0)$ è il numero di autovalori non nulli contati con le molteplicità algebriche.
Ad esempio per un polinomio caratteristico reale di grado $N=5$ con autovalori e molteplicità algebriche:
$lambda_1 = 7$ con $ma(lambda_1)= 1;$
$lambda_2 = 0$ con $ma(lambda_2) = 2; $
$lambda_3 = 9$ con $ma(lambda_3) = 2$
Risulta che: $N - ma(0) = 3$
Dato che $N = sum ma(lambda_i)$ allora $N - ma(0)$ è il numero di autovalori non nulli contati con le molteplicità algebriche.
Ad esempio per un polinomio caratteristico reale di grado $N=5$ con autovalori e molteplicità algebriche:
$lambda_1 = 7$ con $ma(lambda_1)= 1;$
$lambda_2 = 0$ con $ma(lambda_2) = 2; $
$lambda_3 = 9$ con $ma(lambda_3) = 2$
Risulta che: $N - ma(0) = 3$
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