Rango di una matrice con variabile
Come si potrebbe risolvere il più semplice possibile questo esercizio?
Dice determinare al variare del parametro 'a' il rango della seguente matrice:
(io ho provato a mettere i 'a' sulla diagonale principale per poi ricondurmi ad una matrice triangolare ma vengo dei conti pazzeschi):
$((1,1,a,1),(3,2,-1,3),(a,3,-2,0),(-1,0,-4,3))$
grazie mille anticipate
Dice determinare al variare del parametro 'a' il rango della seguente matrice:
(io ho provato a mettere i 'a' sulla diagonale principale per poi ricondurmi ad una matrice triangolare ma vengo dei conti pazzeschi):
$((1,1,a,1),(3,2,-1,3),(a,3,-2,0),(-1,0,-4,3))$
grazie mille anticipate
Risposte
il principio dei minori orlati...? potrebbe essere un'idea.
nn l'ho fatto
se consideri la sottomatrice di terzo ordine non contenente a, quella privata di prima riga e prima colonna, se non ho sbagliato i conti ha determinante -39; dunque la matrice non può avere rango inferiore a tre. ha rango tre solo per i due valori di a che rendono nullo il determinante dell'intera matrice (se non ho errato i conti sono $a=-1/2$ e $a=20/3$ ) e per $(a!=-1/2)^^(a!=20/3)$ la matrice ha rango quattro. ciao.
grazie mentre per questa(qui nn riesco a trovare un det diverso da zero):
$((1,1,-1,2),(a,1,1,1),(1,-1,3,-3),(4,2,0,a))$
$((1,1,-1,2),(a,1,1,1),(1,-1,3,-3),(4,2,0,a))$
Togli la prima colonna e la quarta riga e segui il precedente ragionamento
si ma qui viene che il det è =0
Allora in questo caso il rango della matrice minore non è 3 ma due o meno, ma ti dice poco della matrice originale. Sviluppiamo il determinante della matrice originale:
$det((1,1,-1,2), (a,1,1,1), (1,-1,3,-3), (4, 2, 0, a))= a*det((1,1,-1),(a,1,1),(1,-1,3)) + 2*det((1,-1,2),(a,1,1),(1,3,-3)) - 4*det((1,-1,2),(1,1,1),(-1,3,-3))=$
$=a*(6-2*a)+2*(3*a-9) = 6*a-2*a^2+6*a-18 = -2*(a^2-6*a+9)= -2*(a-3)^2$
Come vedi il polinomio si può annulla solo se $a=3$, quindi:
la matrice ha rango 4 se $a!=3$
la matrice ha rango minore di 4 altrimenti.
$det((1,1,-1,2), (a,1,1,1), (1,-1,3,-3), (4, 2, 0, a))= a*det((1,1,-1),(a,1,1),(1,-1,3)) + 2*det((1,-1,2),(a,1,1),(1,3,-3)) - 4*det((1,-1,2),(1,1,1),(-1,3,-3))=$
$=a*(6-2*a)+2*(3*a-9) = 6*a-2*a^2+6*a-18 = -2*(a^2-6*a+9)= -2*(a-3)^2$
Come vedi il polinomio si può annulla solo se $a=3$, quindi:
la matrice ha rango 4 se $a!=3$
la matrice ha rango minore di 4 altrimenti.
è vero, e viene zero anche il determinante della matrice ottenuta eliminando la seconda riga e la quarta colonna...
ma non è un problema. il determinante della matrice complessiva è, se non ho sbagliato i conti, in funzione di a, $-2a^2+12a-18=-2*(a-3)^2$, e si annulla solo per $a=3$. questo significa che per $a!=3$ la matrice ha rango quattro, mentre per $a=3$... non è così scontato il rango, ma, sostituisci 3 al posto di a e ricava la matrice, non parametrica, di cui calcolerai il rango (o meglio, vedrai se ha rango 2 oppure 3). ciao.
ma non è un problema. il determinante della matrice complessiva è, se non ho sbagliato i conti, in funzione di a, $-2a^2+12a-18=-2*(a-3)^2$, e si annulla solo per $a=3$. questo significa che per $a!=3$ la matrice ha rango quattro, mentre per $a=3$... non è così scontato il rango, ma, sostituisci 3 al posto di a e ricava la matrice, non parametrica, di cui calcolerai il rango (o meglio, vedrai se ha rango 2 oppure 3). ciao.
grazie mille ad entrambi 
scusate ho trovato un altro problema(è veramente l'ultimo poi nn ce ne sono più,scusate ancora )
qui ho calcolato il determinate e mi viene che per ogni a è sempre =0 quindi nn può essere di rango 4..allora come devo far vedere al variare di a quando è 2 o 3?
$((3,-1,2,-1),(1,-2,4,-1),(-12,-1,a,2),(-1,-3,6,-1))$
)qui ho calcolato il determinate e mi viene che per ogni a è sempre =0 quindi nn può essere di rango 4..allora come devo far vedere al variare di a quando è 2 o 3?
$((3,-1,2,-1),(1,-2,4,-1),(-12,-1,a,2),(-1,-3,6,-1))$
Un buon metodo sarebbe studiare.
Comunque, ti chiedo un po' di cose:
Sai cos'è il rango?
Sai che il rango "per righe" è uguale al rango "per colonne"?
Sai che il rango è il massimo ordine di una sottomatrice quadrata invertibile?
Sennò non si va avanti
Comunque, ti chiedo un po' di cose:
Sai cos'è il rango?
Sai che il rango "per righe" è uguale al rango "per colonne"?
Sai che il rango è il massimo ordine di una sottomatrice quadrata invertibile?
Sennò non si va avanti
si,sò anke che il rango coincide con il max numero di righe o colonne linearmente indipenden,scambio di 2 righe e 2 colonne nn cambia il rango,trasposta di una mtrice nn cambia,sostituzione di una riga o una colonna con essa stessa sommata ad un altra riga o colonna moltiplicata uno scalare nn cambia,(riconduzione a cananoica diagonale o triagolare dipende se mi chiede di vedere anke le righe o colone lin ind)ecc..
volevo sapere solo quest'ultimo esercizio
volevo sapere solo quest'ultimo esercizio
non lo so se ho commesso qualche errore nel calcolo del determinante, ma a me non viene zero... è vero che si semplifica a...
a me viene $det(A)=6$, indipendente da $a$. se è giusto, vuol dire che indipendentemente dal valore di $a$, il determinante della matrice è $!=0$, quindi la matrice ha rango quattro per ogni valore di a.
se non ti viene così, scrivi i passaggi. ciao.
a me viene $det(A)=6$, indipendente da $a$. se è giusto, vuol dire che indipendentemente dal valore di $a$, il determinante della matrice è $!=0$, quindi la matrice ha rango quattro per ogni valore di a.
se non ti viene così, scrivi i passaggi. ciao.
Aggiungo il principio dei minori orlati: parti da una sottom quad di ordine piccolo ad esempio quella 2x2 in alto a sx. Il suo det è -5, adesso "orliamo" la matrice, ossia consideriamo le 3x3 che la contengono. Se tutte hanno det=0 allora rk=2, sennò è 3. Mi pare che considerando quella che contiene anche a venga un'espressione dipendente da a, quindi rango 3 (puoi sempre scegliere a in modo che il det nn si annulli)
EDIT: Se poi hai sbagliato il det A è un altro discorso...
EDIT: Se poi hai sbagliato il det A è un altro discorso...
I miei passaggi sono stati i seguiti(ho usato il metodo di Laplace):
fissata prima e seconda riga le possibili combinazioni di colonne sono $M_{1,2}$ $M_{1,3}$ $M_{1,4}$ $M_{2,3}$ $M_{2,4}$ $M_{3,4}$:
--$M_{1,2}$ = $|(3,-1),(1,-2)|$ = -5
$$\alpha$ _{1,2}$ = $|(a,2),(6,-1)|$ * $(-1)^3$ = a+12
quindi -5(a+12)
--$M_{1,3}$ = $|(3,2),(1,4)|$ = 10
$$\alpha$ _{1,3}$ = $|(-1,2),(-3,-1)|$ * $(-1)^4$ = 7
quindi 70
--$M_{1,4}$ = $|(3,-1),(1,-1)|$ = -2
$$\alpha$ _{1,4}$ = $|(-1,a),(-3,6)|$ * $(-1)^5$ = 6-3a
quindi -2(6-3a)
--$M_{2,3}$ = $|(-1,2),(-2,4)|$ = 0
--$M_{2,4}$ = $|(-1,-1),(-2,-1)|$ = -1
$$\alpha$ _{2,4}$ = $|(-12,a),(-1,6)|$ * $(-1)^6$ = -72+a
quindi 72-a
--$M_{3,4}$ = $|(2,-1),(4,-1)|$ = 2
$$\alpha$ _{3,4}$ = $|(-12,-1),(-1,-3)|$ * $(-1)^7$ = -35
quindi -70
sommando -5(a+12)+70-2(6-3a)+72-a-70≠0
0≠0 mai
fissata prima e seconda riga le possibili combinazioni di colonne sono $M_{1,2}$ $M_{1,3}$ $M_{1,4}$ $M_{2,3}$ $M_{2,4}$ $M_{3,4}$:
--$M_{1,2}$ = $|(3,-1),(1,-2)|$ = -5
$$\alpha$ _{1,2}$ = $|(a,2),(6,-1)|$ * $(-1)^3$ = a+12
quindi -5(a+12)
--$M_{1,3}$ = $|(3,2),(1,4)|$ = 10
$$\alpha$ _{1,3}$ = $|(-1,2),(-3,-1)|$ * $(-1)^4$ = 7
quindi 70
--$M_{1,4}$ = $|(3,-1),(1,-1)|$ = -2
$$\alpha$ _{1,4}$ = $|(-1,a),(-3,6)|$ * $(-1)^5$ = 6-3a
quindi -2(6-3a)
--$M_{2,3}$ = $|(-1,2),(-2,4)|$ = 0
--$M_{2,4}$ = $|(-1,-1),(-2,-1)|$ = -1
$$\alpha$ _{2,4}$ = $|(-12,a),(-1,6)|$ * $(-1)^6$ = -72+a
quindi 72-a
--$M_{3,4}$ = $|(2,-1),(4,-1)|$ = 2
$$\alpha$ _{3,4}$ = $|(-12,-1),(-1,-3)|$ * $(-1)^7$ = -35
quindi -70
sommando -5(a+12)+70-2(6-3a)+72-a-70≠0
0≠0 mai
non ho capito un gran che di quello che hai scritto, però io ricordo che il metodo che ti permette di "abbassare di grado" la matrice si fa seguendo una riga o una colonna attraverso i complementi algebrici... e da ordine quattro ti permette di passare a quattro determinanti di ordine tre (4*3=12, non è necessario passare a ordine due, perché c'è la regola di Sarrus, ma anche se volessi, ogni determinante di ordine tre lo dovresti calcolare attraverso tre determinanti di ordine due, per cui con due passaggi dovresti avere 12 determinanti di ordine due e non 6). ciao.
ho provato anke con matlab viene zero il detrminate qualunque sia il valore di a
io ho calcolato tutto a mano... ho trovato l'errore nel calcolo precedente (avevo scritto un 10 al posto di un 4), per cui sono al punto indicato da Sergio. io non mi sono ancora arresa nel cercare i minori di ordine tre non dipendenti da $a$... voi per caso avete già escluso che qualcuno di essi possa avere determinante diverso da 0? ciao.
puoi togliere la terza riga e una colonna qualsiasi oppure la terza colonna e una riga qualsiasi....
mi pare però che venga sempre zero...
mi pare anche che i valori critici di $a$ (che annullino un qualsiasi determinante del terzo ordine contenente a, sono tutti a=2, anche se io faccio solo conti "a mano"): bastava trovare due valori diversi in due diverse sottomatrici, per poter concludere che per qualsiasi valore di a la matrice aveva rango tre; invece, se con $a=2$ ogni sottomatrice di ordine tre è singolare, vuol dire che la matrice ha rango tre per $a!=2$ ed ha rango due per $a=2$. ciao.
mi pare però che venga sempre zero...
mi pare anche che i valori critici di $a$ (che annullino un qualsiasi determinante del terzo ordine contenente a, sono tutti a=2, anche se io faccio solo conti "a mano"): bastava trovare due valori diversi in due diverse sottomatrici, per poter concludere che per qualsiasi valore di a la matrice aveva rango tre; invece, se con $a=2$ ogni sottomatrice di ordine tre è singolare, vuol dire che la matrice ha rango tre per $a!=2$ ed ha rango due per $a=2$. ciao.
ok grazie mille a tutti..
ciaoooooooooo
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