Rango di una matrice con teorema degli orlati
Ciao a tutti ragazzi,non riesco proprio a calcolare il rango di una matrice tramite il teorema degli orlati..Chi mi da una mano? Grazie !
Propongo un esempio:
$A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0))$
Da come ho capito più o meno...
$A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0))$
Nel mio caso prendo il minore di ordine 2:
$A= ((1,0),(2,3))$
E calcolo il determinante
$|A'|= 3 $ ---> 3 diverso da 0.
Ora:
Se il determinante della matrice A è diverso da zero ho il rango massimo nel mio caso 4.
Mentre,se il determinante della matrice A è uguale a 0,ho il rango minimo che nel mio caso è 3.
FIno a qui tutto giusto? Chi mi spiega i passaggi da eseguire per calcolare il rango della seguente matrice tramite il teorema degli orlati..? in particolare quando devo considerare ed esaminare i determinanti dei minori orlati..? Grazie!
Propongo un esempio:
$A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0))$
Da come ho capito più o meno...
$A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0))$
Nel mio caso prendo il minore di ordine 2:
$A= ((1,0),(2,3))$
E calcolo il determinante
$|A'|= 3 $ ---> 3 diverso da 0.
Ora:
Se il determinante della matrice A è diverso da zero ho il rango massimo nel mio caso 4.
Mentre,se il determinante della matrice A è uguale a 0,ho il rango minimo che nel mio caso è 3.
FIno a qui tutto giusto? Chi mi spiega i passaggi da eseguire per calcolare il rango della seguente matrice tramite il teorema degli orlati..? in particolare quando devo considerare ed esaminare i determinanti dei minori orlati..? Grazie!
Risposte
Ciao.
Data la matrice
$A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0))$
si prende un minore
$A'=((1,0),(2,3))$
che, avendo determinante non nullo, garantisce che $rkA>=2$.
D'altra parte si deve avere $rkA<=3$, perchè il massimo rango che può avere una matrice non può superare il valore minimo tra numero di righe e numero di colonne della matrice stessa.
Gli orlati di $A'$ sono dati da
$O_1(A')=((1,0,1),(2,3,-1),(0,1,-1))$
$O_2(A')=((1,0,1),(2,3,2),(0,1,0))$
Siccome $|O_1(A')|=|O_2(A')|=0$, allora, per il teorema degli orlati, si ha $rkA=2$.
Saluti.
Data la matrice
$A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0))$
si prende un minore
$A'=((1,0),(2,3))$
che, avendo determinante non nullo, garantisce che $rkA>=2$.
D'altra parte si deve avere $rkA<=3$, perchè il massimo rango che può avere una matrice non può superare il valore minimo tra numero di righe e numero di colonne della matrice stessa.
Gli orlati di $A'$ sono dati da
$O_1(A')=((1,0,1),(2,3,-1),(0,1,-1))$
$O_2(A')=((1,0,1),(2,3,2),(0,1,0))$
Siccome $|O_1(A')|=|O_2(A')|=0$, allora, per il teorema degli orlati, si ha $rkA=2$.
Saluti.
"alessandro8":
Ciao.
Data la matrice
$A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0))$
si prende un minore
$A'=((1,0),(2,3))$
che, avendo determinante non nullo, garantisce che $rkA>=2$.
D'altra parte si deve avere $rkA<=3$, perchè il massimo rango che può avere una matrice non può superare il valore minimo tra numero di righe e numero di colonne della matrice stessa.
Gli orlati di $A'$ sono dati da
$O_1(A')=((1,0,1),(2,3,-1),(0,1,-1))$
$O_2(A')=((1,0,1),(2,3,2),(0,1,0))$
Siccome $|O_1(A')|=|O_2(A')|=0$, allora, per il teorema degli orlati, si ha $rkA=2$.
Saluti.
Ciao,grazie mille per la risposta!
Ho capito lo svolgimento solo non mi è chiaro come posso sapere il valore del rango minimo e massimo..
Per quanto riguarda il massimo esso sarà uguale al numero di righe e colonne? Mentre per quello minimo,mi basta sottrarre uno a quello massimo ? Ovvero:
Numero righe e colonne matrice A = 4 ---> Rango massimo = 4
Rango minimo = 3 --> (4-1=3)
Spero di essermi spiegato bene e di aver centrato il punto del mio problema...Grazie ancora!
Ciao.
Alcuni chiarimenti sui possibili valori del rango di una matrice.
Rango massimo di una matrice.
Data una matrice $A$, dotata di $m$ righe e $n$ colonne, si ha che $rkA<=min(m,n)$.
Quindi, data la matrice dell'esempio
$ A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0)) $
essendo, questa, dotata di tre righe e quattro colonne, si avrà che $rkA<=min(3,4)=3$.
E' impossibile avere $rkA=4$.
Rango minimo di una matrice.
L'unica matrice con rango nullo è quella nulla; se un solo coefficiente della matrice è non nullo, la conseguenza è quella per cui il suo rango non potrà essere inferiore a uno.
Se una matrice possiede almeno due righe (o due colonne) che non siano l'una multiplo dell'altra, si ha che il rango della matrice non potrà essere inferiore a due.
Se una matrice ha un minore di ordine $k$ con determinante non nullo, si ha che $rkA>=k$.
Nel caso della stessa matrice dell'esempio
$ A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0)) $
esiste un suo minore di ordine $2$, dato da
$ A'=((1,0),(2,3)) $
con determinante non nullo, quindi $rkA>=2$.
Chiaro?
Saluti.
Alcuni chiarimenti sui possibili valori del rango di una matrice.
Rango massimo di una matrice.
Data una matrice $A$, dotata di $m$ righe e $n$ colonne, si ha che $rkA<=min(m,n)$.
Quindi, data la matrice dell'esempio
$ A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0)) $
essendo, questa, dotata di tre righe e quattro colonne, si avrà che $rkA<=min(3,4)=3$.
E' impossibile avere $rkA=4$.
Rango minimo di una matrice.
L'unica matrice con rango nullo è quella nulla; se un solo coefficiente della matrice è non nullo, la conseguenza è quella per cui il suo rango non potrà essere inferiore a uno.
Se una matrice possiede almeno due righe (o due colonne) che non siano l'una multiplo dell'altra, si ha che il rango della matrice non potrà essere inferiore a due.
Se una matrice ha un minore di ordine $k$ con determinante non nullo, si ha che $rkA>=k$.
Nel caso della stessa matrice dell'esempio
$ A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0)) $
esiste un suo minore di ordine $2$, dato da
$ A'=((1,0),(2,3)) $
con determinante non nullo, quindi $rkA>=2$.
Chiaro?
Saluti.
"alessandro8":
Ciao.
Alcuni chiarimenti sui possibili valori del rango di una matrice.
Rango massimo di una matrice.
Data una matrice $A$, dotata di $m$ righe e $n$ colonne, si ha che $rkA<=min(m,n)$.
Quindi, data la matrice dell'esempio
essendo, questa, dotata di tre righe e quattro colonne, si avrà che $rkA<=min(3,4)=3$.
E' impossibile avere $rkA=4$.
Rango minimo di una matrice.
L'unica matrice con rango nullo è quella nulla; se un solo coefficiente della matrice è non nullo, la conseguenza è quella per cui il suo rango non potrà essere inferiore a uno.
Se una matrice possiede almeno due righe (o due colonne) che non siano l'una multiplo dell'altra, si ha che il rango della matrice non potrà essere inferiore a due.
Se una matrice ha un minore di ordine $k$ con determinante non nullo, si ha che $rkA>=k$.
Nel caso della stessa matrice dell'esempio
$ A= ((1,0,1,1),(2,3,-1,2),(0,1,-1,0)) $
esiste un suo minore di ordine $2$, dato da
$ A'=((1,0),(2,3)) $
con determinante non nullo, quindi $rkA>=2$.
Chiaro?
Saluti.
Tutto chiaro,grazie!
L'unico dubbio che mi rimane,è come applicare il teorema degli orlati ad una matrice per calcolare il rango..
TI pongo un altro esempio..
$ A= ((2,0,1,1),(2,4,-1,2),(0,1,-1,0)) $
Scelgo il seguente minore di ordine 2.
$ A'= ((2,0),(2,4)) |A'| = 8 $ rango maggiore uguale a 2.
Ora devo prendere gli orlati di A' ma non ho capito come si fa ad individuarli.. Grazie!
"darakum":
L'unico dubbio che mi rimane,è come applicare il teorema degli orlati ad una matrice per calcolare il rango..
TI pongo un altro esempio..
$ A= ((2,0,1,1),(2,4,-1,2),(0,1,-1,0)) $
Scelgo il seguente minore di ordine 2.
$ A'= ((2,0),(2,4)) |A'| = 8 $ rango maggiore uguale a 2.
Ora devo prendere gli orlati di A' ma non ho capito come si fa ad individuarli.. Grazie!
Nel caso in questione, gli orlati di $A'$ sono dati da
$O_1(A')=((2,0,1),(2,4,-1),(0,1,-1))$
ottenuto aggiungendo alla matrice $A'$ un "orlo" visualizzabile da $A$ secondo questa modalità
$((a,a,1,xx),(a,a,-1,xx),(0,1,-1,xx))$
e
$O_2(A')=((2,0,1),(2,4,2),(0,1,0))$
ottenuto aggiungendo alla matrice $A'$ un "orlo" visualizzabile da $A$ secondo questa modalità
$((a,a,xx,1),(a,a,xx,2),(0,1,xx,0))$
N.B. $a,xx$ non sono variabili numeriche, sono solo simboli.
In questo caso, avendo $|O_1(A')|!=0$, ne consegue che $rkA=3$.
Saluti.
"alessandro8":
[quote="darakum"]
L'unico dubbio che mi rimane,è come applicare il teorema degli orlati ad una matrice per calcolare il rango..
TI pongo un altro esempio..
$ A= ((2,0,1,1),(2,4,-1,2),(0,1,-1,0)) $
Scelgo il seguente minore di ordine 2.
$ A'= ((2,0),(2,4)) |A'| = 8 $ rango maggiore uguale a 2.
Ora devo prendere gli orlati di A' ma non ho capito come si fa ad individuarli.. Grazie!
Nel caso in questione, gli orlati di $A'$ sono dati da
$O_1(A')=((2,0,1),(2,4,-1),(0,1,-1))$
ottenuto aggiungendo alla matrice $A'$ un "orlo" visualizzabile da $A$ secondo questa modalità
$((a,a,1,xx),(a,a,-1,xx),(0,1,-1,xx))$
e
$O_2(A')=((2,0,1),(2,4,2),(0,1,0))$
ottenuto aggiungendo alla matrice $A'$ un "orlo" visualizzabile da $A$ secondo questa modalità
$((a,a,xx,1),(a,a,xx,2),(0,1,xx,0))$
N.B. $a,xx$ non sono variabili numeriche, sono solo simboli.
In questo caso, avendo $|O_1(A')|!=0$, ne consegue che $rkA=3$.
Saluti.[/quote]
Okay,tutto chiaro..!
Quindi in conclusione i passaggi da fare sono:
1) Prendere la matrice A e calcolare il determinante del minore che scelgo.
2) Calcolare il determinante dell'intera matrice di partenza per vedere se il rango è massimo (Nel caso in cui det diverso da zero) . In caso positivo,fermarsi qui..In caso negativo..
3) Trovare gli altri minori e calcolarne il determinante (se hanno tutti uguale a zero,il rango è il minimo).
Giusto come cosa?
"darakum":
Quindi in conclusione i passaggi da fare sono:
1) Prendere la matrice A e calcolare il determinante del minore che scelgo.
2) Calcolare il determinante dell'intera matrice di partenza per vedere se il rango è massimo (Nel caso in cui det diverso da zero) . In caso positivo,fermarsi qui..In caso negativo..
3) Trovare gli altri minori e calcolarne il determinante (se hanno tutti uguale a zero,il rango è il minimo).
Direi:
1) si prova a vedere se si trova un minore di ordine massimo[nota]ordine massimo=min(nr.righe;nr.colonne)[/nota] che abbia deteminante non nullo; in caso affermativo, il rango della matrice data è massimo;
2) qualora non fosse semplice trovare un minore di ordine massimo, si considera un minore di ordine inferiore con determinante sicuramente non nullo, dopodichè è sufficiente provare a calcolare i determinanti degli orlati di quest'ultimo minore; se si trova che tutti gli orlati hanno determinante nullo, allora il rango della matrice coincide con l'ordine del minore considerato, in caso contrario il rango sarà maggiore.
Saluti.
"alessandro8":
[quote="darakum"]
Quindi in conclusione i passaggi da fare sono:
1) Prendere la matrice A e calcolare il determinante del minore che scelgo.
2) Calcolare il determinante dell'intera matrice di partenza per vedere se il rango è massimo (Nel caso in cui det diverso da zero) . In caso positivo,fermarsi qui..In caso negativo..
3) Trovare gli altri minori e calcolarne il determinante (se hanno tutti uguale a zero,il rango è il minimo).
Direi:
1) si prova a vedere se si trova un minore di ordine massimo[nota]ordine massimo=min(nr.righe;nr.colonne)[/nota] che abbia deteminante non nullo; in caso affermativo, il rango della matrice data è massimo;
2) qualora non fosse semplice trovare un minore di ordine massimo, si considera un minore di ordine inferiore con determinante sicuramente non nullo, dopodichè è sufficiente provare a calcolare i determinanti degli orlati di quest'ultimo minore; se si trova che tutti gli orlati hanno determinante nullo, allora il rango della matrice coincide con l'ordine del minore considerato, in caso contrario il rango sarà maggiore.
Saluti.[/quote]
E come faccio a capire quel "maggiore" a quanto corrisponde?
"darakum":
E come faccio a capire quel "maggiore" a quanto corrisponde?
Se si trovasse un orlato $O(A')$ (di un minore $A'$ di $A$) avente determinante non nullo, si avrebbe la certezza che $rkA>=rk(A')+1$; se tale nuovo valore di rango non dovesse essere coincidente con quello massimo assoluto potenzialmente ammissibile dalla matrice $A$, si potrebbe riapplicare il teorema degli orlati assumendo come nuovo minore $A''=O(A')$ e costruendo nuovi orlati $O_i(A'')$.
Non so se mi sono spiegato bene.
Saluti
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