Rango di una matrice al variare del parametro
Ciao, allora, vorrei capire una volta per tutte come si calcola il rango di tale matrice al variare del parametro:
$((k+2,k+1,-3,-4,-1),(0,k+2,0,k+2,k+2),(2k+4,2k+3,k-1,k-2,-1))$,
Sicuramente il rango potrà essere al massimo 3. Il procedimento che so fare è quello di considerare tutti i possibili minori di ordine tre e vedere per quali valori di $k$ il loro determinante non si annulla: i valori di $k$ in comune a tutti i determinanti determinano il rango della matrice, in quanto se $k$ assume tali valori la matrice avrà sicuramente rango inferiore. Il problema è che tale procedimento è lungo e molto faticoso...ci sono altri modi? Grazie mille.
$((k+2,k+1,-3,-4,-1),(0,k+2,0,k+2,k+2),(2k+4,2k+3,k-1,k-2,-1))$,
Sicuramente il rango potrà essere al massimo 3. Il procedimento che so fare è quello di considerare tutti i possibili minori di ordine tre e vedere per quali valori di $k$ il loro determinante non si annulla: i valori di $k$ in comune a tutti i determinanti determinano il rango della matrice, in quanto se $k$ assume tali valori la matrice avrà sicuramente rango inferiore. Il problema è che tale procedimento è lungo e molto faticoso...ci sono altri modi? Grazie mille.
Risposte
Ciao lisdap, purtroppo per queste cose non esiste un metodo univoco,dipende un pò da caso a caso e a volte è inevitabile fare dei conti noiosi... Però, un metodo utile è considerare direttamente i valori di $k$ che annullano qualche termine (tra l'altro mi sembra di ricordare che qualche altro utente ti abbia già dato questo suggerimento, ma non ricordo chi)
Per esempio: osseva che per il valore $k=-2$ un' intera riga (la seconda) si annulla, mentre (se non ho sbagliato i conti) la prima e la terza riga diventano identiche, quindi il rango sarà 1 in tal caso. Ancora per $k=-1$ il rango è 3; e così via...
Per esempio: osseva che per il valore $k=-2$ un' intera riga (la seconda) si annulla, mentre (se non ho sbagliato i conti) la prima e la terza riga diventano identiche, quindi il rango sarà 1 in tal caso. Ancora per $k=-1$ il rango è 3; e così via...
"Zilpha":
Ciao lisdap, purtroppo per queste cose non esiste un metodo univoco,dipende un pò da caso a caso e a volte è inevitabile fare dei conti noiosi... Però, un metodo utile è considerare direttamente i valori di $k$ che annullano qualche termine (tra l'altro mi sembra di ricordare che qualche altro utente ti abbia già dato questo suggerimento, ma non ricordo chi)
Per esempio: osseva che per il valore $k=-2$ un' intera riga (la seconda) si annulla, mentre (se non ho sbagliato i conti) la prima e la terza riga diventano identiche, quindi il rango sarà 1 in tal caso. Ancora per $k=-1$ il rango è 3; e così via...
Ciao, quindi io posso calcolare tutti i valori di $k$ che mi fanno annullare qualche termine e, in corrispondenza di ognuno dei valori, valutare il rango della mia matrice?
Fantastico, così mi sembra molto più veloce, non ci avevo proprio pensato!
"lisdap":
Ciao, quindi io posso calcolare tutti i valori di $k$ che mi fanno annullare qualche termine e, in corrispondenza di ognuno dei valori, valutare il rango della mia matrice?
Esattamente!
Ok, quindi, per esempio, se $k=-1$ il rango è $3$; e se $k$ non è $-1$?
Ehm... non volevo rispondere subito, ma questo mi sembra un metodo assai poco scientifico! Non puoi certo far passare tutti i reali uno ad uno!
Dimmi, che cosa c'era nel metodo che ti avevo suggerito in quest'altro post che non ti piaceva?
Dimmi, che cosa c'era nel metodo che ti avevo suggerito in quest'altro post che non ti piaceva?
Considera prima tutti i casi, poi tiri le somme. Alla fine, i casi interessanti sono quelli in cui il rango è minore di 3. Esclusi questi, in tutti gli altri casi il rango sarà 3.
@lisdap: probabilmente hai fatto un multiposting...ed è vietato dal regolamento.
Comunque, il metodo proposto da maurer è sicuramente più rigoroso, tuttavia credo che abbreviare un pò le cose possa giovare, laddove non vi sia richiesta esplicita di seguire un preciso metodo e purchè si sappia quello che si fa....
Pensandoci bene, però, quello che ti ho proposto io funziona bene nel caso in cui il parametro non è così diffuso nella matrice, ma con una matrice così non ti fa considerare tutti i casi possibili, quindi ti consiglio di fare come ha detto maurer...
Comunque, il metodo proposto da maurer è sicuramente più rigoroso, tuttavia credo che abbreviare un pò le cose possa giovare, laddove non vi sia richiesta esplicita di seguire un preciso metodo e purchè si sappia quello che si fa....
Pensandoci bene, però, quello che ti ho proposto io funziona bene nel caso in cui il parametro non è così diffuso nella matrice, ma con una matrice così non ti fa considerare tutti i casi possibili, quindi ti consiglio di fare come ha detto maurer...
"Zilpha":
@lisdap: probabilmente hai fatto un multiposting...ed è vietato dal regolamento.
Comunque, il metodo proposto da maurer è sicuramente più rigoroso, tuttavia credo che abbreviare un pò le cose possa giovare, laddove non vi sia richiesta esplicita di seguire un preciso metodo e purchè si sappia quello che si fa....
Pensandoci bene, però, quello che ti ho proposto io funziona bene nel caso in cui il parametro non è così diffuso nella matrice, ma con una matrice così non ti fa considerare tutti i casi possibili, quindi ti consiglio di fare come ha detto maurer...
ciao, non mi pare di aver fatto un multiposting...puoi essere più preciso?
se ti riferisci al link di maurer mi scuso anticipatamente per aver violato le regole
"lisdap":
se ti riferisci al link di maurer mi scuso anticipatamente per aver violato le regole
si, mi riferivo a quello...
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