Rango di una matrice 3x4
ciao a tutti, chi mi può dare una mano a trovare i valori di k che rendono il rango della matrice A massimo?
1 k 2k 1
A= 1 2 -1 2
k -4 2 -4
so che il rango max è 3. devo studiarmi i 4 determinanti 3x3 e trovare i valori che rendono quei determinanti nulli?o basta studiarne solo uno?
grazie
1 k 2k 1
A= 1 2 -1 2
k -4 2 -4
so che il rango max è 3. devo studiarmi i 4 determinanti 3x3 e trovare i valori che rendono quei determinanti nulli?o basta studiarne solo uno?
grazie
Risposte
scrivo meglio la matrice perchè è un po' confusa
1 k 2k 1
1 2 -1 2
k -4 2 -4
1 k 2k 1
1 2 -1 2
k -4 2 -4
Utilizza il teorema di Kronecker. Inizia Trovando una sottomatrice di ordine 2 che determinate non nullo (possibilmente trova una matrice che non abbia tra i suoi elementi il parametro k).
Io consiglio:\(M_=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\) ad esempio.
Ti accorgerai che il suo determinante è diverso da zero, e questo ci dice che il rango della matrice \(A\) è almeno due:
\(\text{rank}(A)\ge 2\).
Il teorema di Kronecker afferma che la matrice \(A\) ha rango 3 se esiste almeno un'orlata, di ordine \(3\), della matrice \(M\) che possiede determinante diverso da zero.
In questo caso quindi devi orlare \(M\), ottenendo \(2\) matrici di ordine \(3\) i cui determinanti dipenderanno dal parametro \(k\). Dovrai fare quindi una discussione sul rango al variare di \(k\). Penso di averti dato tutto quello che ti serve, se hai ancora necessità fai un fischio.
PS: Utilizza i codici per inserire le formule, sarà più facile aiutarti.
Io consiglio:\(M_=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\) ad esempio.
Ti accorgerai che il suo determinante è diverso da zero, e questo ci dice che il rango della matrice \(A\) è almeno due:
\(\text{rank}(A)\ge 2\).
Il teorema di Kronecker afferma che la matrice \(A\) ha rango 3 se esiste almeno un'orlata, di ordine \(3\), della matrice \(M\) che possiede determinante diverso da zero.
In questo caso quindi devi orlare \(M\), ottenendo \(2\) matrici di ordine \(3\) i cui determinanti dipenderanno dal parametro \(k\). Dovrai fare quindi una discussione sul rango al variare di \(k\). Penso di averti dato tutto quello che ti serve, se hai ancora necessità fai un fischio.
PS: Utilizza i codici per inserire le formule, sarà più facile aiutarti.
Quindi io parto da un det2x2 in modo che qualsiasi k sia verificata per avere un rango > 2, come ad esempio $((1,1),(1,2))$ .A questo punto orlo questo determinante ottenendo due matrici 3x3 (dimmi poi se orlo nel modo giusto)
$((1,k,1),(1,2,2),(k,-4,-4))$ e $((1,2k,1),(1,-1,2),(k,2,-4))$
ottengo in tutto 4 valori, e dunque per k $!=$ 1, -2, -(1/4), -2 ho queste matrici con det $!=$ 0. Ora devo sostituire uno per uno questi valori nella matrice 3x4 e verificare se la matrice completa ha rango < 3, e dunque per k $!=$ da quel valore avrò rango massimo? o c'è un altro metodo? inoltre, orlando il det2x2 analizzato, trovo tutti i valori che troverei se analizzassi i 4 determinanti 3x3 che può formare la matrice A?
$((1,k,1),(1,2,2),(k,-4,-4))$ e $((1,2k,1),(1,-1,2),(k,2,-4))$
ottengo in tutto 4 valori, e dunque per k $!=$ 1, -2, -(1/4), -2 ho queste matrici con det $!=$ 0. Ora devo sostituire uno per uno questi valori nella matrice 3x4 e verificare se la matrice completa ha rango < 3, e dunque per k $!=$ da quel valore avrò rango massimo? o c'è un altro metodo? inoltre, orlando il det2x2 analizzato, trovo tutti i valori che troverei se analizzassi i 4 determinanti 3x3 che può formare la matrice A?
Commenti miei in rosso.
Andiamo con ordine:
Chiamo $M_3=((1,k,1),(1,2,2),(k,-4,-4))$ e $N_3=((1,2k,1),(1,-1,2),(k,2,-4))$
Hai trovato che \(\text{det}(M_3)=0\iff k=-2 \vee k=-1\)
Mentre \(\text{det}(N_3)=0\iff k=-\frac{1}{4} \vee k=-2\)
Da qui si capisce che le orlate di ordine \(3\) hanno entrambe determinante nullo se e solo se \(k=-2\) di conseguenza il rango della matrice \(A\) è necessariamente \(2\).
Per \(k\ne -2\) almeno uno dei determinanti delle orlate è non nullo, di conseguenza il rango della matrice \(A\) è \(3\).
"Bios88":
Quindi io parto da un det2x2 in modo che qualsiasi k sia verificata per avere un rango > 2 (In realtà qui è \(\ge 2)), come ad esempio $((1,1),(1,2))$ .A questo punto orlo questo determinante ottenendo due matrici 3x3 (dimmi poi se orlo nel modo giusto)
$((1,k,1),(1,2,2),(k,-4,-4))$ e $((1,2k,1),(1,-1,2),(k,2,-4))$
(Sì, è corretto)
ottengo in tutto 4 valori, e dunque per k $!=$ 1, -2, -(1/4), -2 ho queste matrici con det $!=$ 0. Ora devo sostituire uno per uno questi valori nella matrice 3x4 e verificare se la matrice completa ha rango < 3, e dunque per k $!=$ da quel valore avrò rango massimo? o c'è un altro metodo? inoltre, orlando il det2x2 analizzato, trovo tutti i valori che troverei se analizzassi i 4 determinanti 3x3 che può formare la matrice A?(Certo che sì, ma utilizzando questo metodo i conti aumentano considerevolmente, col rischio di commettere errori.)
Andiamo con ordine:
Chiamo $M_3=((1,k,1),(1,2,2),(k,-4,-4))$ e $N_3=((1,2k,1),(1,-1,2),(k,2,-4))$
Hai trovato che \(\text{det}(M_3)=0\iff k=-2 \vee k=-1\)
Mentre \(\text{det}(N_3)=0\iff k=-\frac{1}{4} \vee k=-2\)
Da qui si capisce che le orlate di ordine \(3\) hanno entrambe determinante nullo se e solo se \(k=-2\) di conseguenza il rango della matrice \(A\) è necessariamente \(2\).
Per \(k\ne -2\) almeno uno dei determinanti delle orlate è non nullo, di conseguenza il rango della matrice \(A\) è \(3\).
dunque la risposta al quesito, per quali valori di k il rango della matrice è massimo? è k $!=$ -2? ma sostituendo il valore k = 1 nella matrice completa mi trovo che il rango è 2, dunque anche per k $!=$ 1 si ha rango massimo, no?
Rifai i conti. Hai commesso sicuaramente un errore. Per \(k=1\) l'orlata \(M_3\), così come \(N_3\), ha determinante non nullo, quindi è impossibile che il rango della matrice \(A\) sia 2 per \(k=1\)
Ammetto l'errore di calcolo 
grazie mathematico!ah,nel caso avessi qualche matrice complicata su cui trovare il rango per esercitarmi, te ne sarei grato!
a presto
grazie mathematico!ah,nel caso avessi qualche matrice complicata su cui trovare il rango per esercitarmi, te ne sarei grato!a presto
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