Rango di applicazione fra spazi di endomorfismi
Salve a tutti,
Questo è il problema:
Sia $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ applicazione lineare iniettiva e sia $g: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$ applicazione lineare suriettiva.
Si verifichi che:
$E:={h\inEnd(\mathbb{R}^m) |$ $ g\circ h\circ f=0}$
è un sottospazio vettoriale di $End(mathbb{R}^m)$ e se ne calcoli la dimensione.
Soluzione: (verifica che è un sottospazio è semplice);
Rimane da trovare la dimensione:
Considero $\phi:End(\mathbb{R}^m) \rightarrow End(\mathbb{R}^m)$ che associa $ h\mapsto g\circ h\circ f$
A questo punto osservo che $E=ker\phi$ (facile) e ne deduco che $dimE=dimKer\phi=dimEnd(\mathbb{R}^m) - rk\phi=m^2-rk\phi$, perciò devo sapere il rango di $\phi$.
Ora immagino che le ipotesi su f e g di iniettività e suriettività debbano essere utilizzate... come concludo?Posso dire qualcosa sullo span delle colonne della matriche ($m^2\timesm^2$) che rappresenta la $\phi$? Grazie in anticipo a chi mi darà una mano...
Questo è il problema:
Sia $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ applicazione lineare iniettiva e sia $g: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$ applicazione lineare suriettiva.
Si verifichi che:
$E:={h\inEnd(\mathbb{R}^m) |$ $ g\circ h\circ f=0}$
è un sottospazio vettoriale di $End(mathbb{R}^m)$ e se ne calcoli la dimensione.
Soluzione: (verifica che è un sottospazio è semplice);
Rimane da trovare la dimensione:
Considero $\phi:End(\mathbb{R}^m) \rightarrow End(\mathbb{R}^m)$ che associa $ h\mapsto g\circ h\circ f$
A questo punto osservo che $E=ker\phi$ (facile) e ne deduco che $dimE=dimKer\phi=dimEnd(\mathbb{R}^m) - rk\phi=m^2-rk\phi$, perciò devo sapere il rango di $\phi$.
Ora immagino che le ipotesi su f e g di iniettività e suriettività debbano essere utilizzate... come concludo?Posso dire qualcosa sullo span delle colonne della matriche ($m^2\timesm^2$) che rappresenta la $\phi$? Grazie in anticipo a chi mi darà una mano...
Risposte
"up"
$E:={h\inEnd(\mathbb{R}^m) |g\circ h\circ f=0}$
Prima osservazione:
$m≥n$
Banale, forse ma meglio tenercela da parte come informazione.
Secondo:
Per definizione di applicazione lineare iniettiva il $ker$ di f è:
$Ker(f)=<0>$
Ora non ci resta altro che entrare nel ker di g e siamo sicuri di aver fatto bene.
C'è un solo grosso problema, per determinare la dimensione, non sappiamo quanto è grande il ker della funzione $g$, infatti di una funzione suriettiva non possiamo dire niente del $ker$ se non che:
$|Ker(g)|≤m-n$
Quindi non ci resta che far oscillare il nostro risultato tra due valori..
Avremo quindi una funzione da $h:R^m -> Ker(g)$ che avrà dimensione:
$0<|E|< m*(m-n)$
Prima osservazione:
$m≥n$
Banale, forse ma meglio tenercela da parte come informazione.
Secondo:
Per definizione di applicazione lineare iniettiva il $ker$ di f è:
$Ker(f)=<0>$
Ora non ci resta altro che entrare nel ker di g e siamo sicuri di aver fatto bene.
C'è un solo grosso problema, per determinare la dimensione, non sappiamo quanto è grande il ker della funzione $g$, infatti di una funzione suriettiva non possiamo dire niente del $ker$ se non che:
$|Ker(g)|≤m-n$
Quindi non ci resta che far oscillare il nostro risultato tra due valori..
Avremo quindi una funzione da $h:R^m -> Ker(g)$ che avrà dimensione:
$0<|E|< m*(m-n)$
ma se $E$ è s.s.v di $End(RR^m)$ la dimensione di $E$ sara $m$
Gli endomorfismi di uno spazio di dimensione $m$ avranno dimensione $m^2$..
perché? scusa ma se un $End$ è una funzione che va da uno spazio di dimensione $m$ a uno di ancora dimensione $m$ perché dovrebbe avere dimensione $m^2$, come fa ad aumentare la sua dimensione? ciò vuol dire che lo spazio di partenza allora è s.s.v di $End$...
"xnix":
perché? scusa ma se un $End$ è una funzione che va da uno spazio di dimensione $m$ a uno di ancora dimensione $m$ perché dovrebbe avere dimensione $m^2$, come fa ad aumentare la sua dimensione? ciò vuol dire che lo spazio di partenza allora è s.s.v di $End$...
$ End(\mathbb (R)^m) $ è uno spazio vettoriale che è isomorfo allo spazio delle matrici $ m\times m$ che ha dimensione appunto $ m^2 $.
C'è un solo grosso problema, per determinare la dimensione, non sappiamo quanto è grande il ker della funzione g, infatti di una funzione suriettiva non possiamo dire niente del ker se non che:
|Ker(g)|≤m−n
Dal teorema del rango sappiamo che $\dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) = n $ dove $n=dim(V)$ se $f:V \rightarrow W$ è lineare, con $V$ e $W$ due spazi vettoriali qualsiasi.
Quindi $dim(Ker(g))=m-n$ visto che $dim(Im(g))=n$ perchè $g$ è suriettiva.
Un'altra domanda:
Posso riscrivere $E$ come ${h \in End(\mathbb{R}^m)| Ker(g)\supseteq Im(h)}$?
(Mi serve per una dimostrazione alternativa del problema sopra. Un mio amico è scettico su come glie l'ho dimostrato, ma voglio sottoporvelo.)
dim: se vale $Ker(g)\supseteq Im(h)$:
$\forall x \in \mathbb{R}^n, (g\circ h\circ f)(x)=g(h(f(x))) $ dove, per ipotesi $ h(f(x)) \in Im(h)\subseteq Ker(g) \Rightarrow g(h(f(x)))=0\Rightarrow g\circ h\circ f =0$.
Se invece $g\circ h\circ f=0$:
$0=g(h(f(x))), \forall x\in \mathbb{R}^n \Rightarrow h(f(x))\in Ker(g), \forall x\in \mathbb{R}^n$. Ma $h(f(x)) \in Im(f) \Rightarrow Im(f)\subseteq Ker(g)$.
Il mio amico sostiene che poichè $f$ non è suriettiva la seconda freccia sia falsa perchè, se invece dico:
Sapendo che $g\circ h\circ f=0$, se $x\in Im(h), \Rightarrow \exists y\in \mathbb{R}^m | x=h(y) \Rightarrow g(x)=g(h(y))$...
Non posso concludere che $g(h(y))$ sia $0$, in quanto non è detto che $y=f(z)$ per qualche $z\in \mathbb{R}^n$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo