Rango del prodotto di due matrici
Salve,
ho una piccola cosa che non mi torna sul prodotto fra due matrici:
Ho una matrice $ A \in \R^(mxn) $ che so essere di piano rango per colonne.
Affermazione: se considero la matrice prodotto $ A^T * A $ essa è una matrice quadrata con determinante diverso da 0.
Guardando le proprietà del rango e del determinante tra prodotto di matrici non riesco a spiegarmi questa affermazione (il fatto che sia a determinante diverso da 0, il fatto che sia quadrata ovviamente mi torna) .... quale proprietà si sfrutta? Magari è una vera sciocchezza ma ora come ora mi sfugge completamente
ho una piccola cosa che non mi torna sul prodotto fra due matrici:
Ho una matrice $ A \in \R^(mxn) $ che so essere di piano rango per colonne.
Affermazione: se considero la matrice prodotto $ A^T * A $ essa è una matrice quadrata con determinante diverso da 0.
Guardando le proprietà del rango e del determinante tra prodotto di matrici non riesco a spiegarmi questa affermazione (il fatto che sia a determinante diverso da 0, il fatto che sia quadrata ovviamente mi torna) .... quale proprietà si sfrutta? Magari è una vera sciocchezza ma ora come ora mi sfugge completamente
Risposte
Benvenuto, Femer!
Scusami...
Ho corretto le scemenze che avevo scritto.
Lo spazio delle colonne di $A$ è ortogonale al nucleo di $A^T$: se $A\mathbf{x}$ è una combinazione lineare delle colonne di $A$ e \(\mathbf{y}\) è tale che \(A^T\mathbf{y}=\mathbf{0}\) allora \((A\mathbf{x})^T \mathbf{y}=\mathbf{x}^T A^T \mathbf{y}=0\).
Quindi se \(A\mathbf{x}\in\ker A^T\), cioè se \(A^T (A\mathbf{x})=A^T A\mathbf{x}=\mathbf{0}\), allora \(\|A\mathbf{x}\|^2=(A\mathbf{x})^T A\mathbf{x}=\mathbf{x}^T A^T A\mathbf{x}=0\), ma l'unico vettore ortogonale a se stesso è quello nullo, per cui \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\), quindi \(\mathbf{x}\in\ker A^T A\Rightarrow\mathbf{x}\in\ker A\), cioè \(\ker (A^T A)\subset\ker A\).
Che \(\ker A\subset\ker (A^T A)\) è evidente: \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\Rightarrow A^T A\mathbf{x}=\mathbf{0}\). Perciò \(\ker (A^T A)=\ker A\).
Dal teorema fondamentale dell'algebra lineare hai che\[r(A_{m×n})=n-\dim(\ker A)\]Quindi \(r(A^T A)=n-\dim(\ker A)=r(A)\).
Ho controllato sullo Strang, Algebra lineare, per non dire altre str***ate.
Ciao!
Scusami...
Ho corretto le scemenze che avevo scritto.Lo spazio delle colonne di $A$ è ortogonale al nucleo di $A^T$: se $A\mathbf{x}$ è una combinazione lineare delle colonne di $A$ e \(\mathbf{y}\) è tale che \(A^T\mathbf{y}=\mathbf{0}\) allora \((A\mathbf{x})^T \mathbf{y}=\mathbf{x}^T A^T \mathbf{y}=0\).
Quindi se \(A\mathbf{x}\in\ker A^T\), cioè se \(A^T (A\mathbf{x})=A^T A\mathbf{x}=\mathbf{0}\), allora \(\|A\mathbf{x}\|^2=(A\mathbf{x})^T A\mathbf{x}=\mathbf{x}^T A^T A\mathbf{x}=0\), ma l'unico vettore ortogonale a se stesso è quello nullo, per cui \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\), quindi \(\mathbf{x}\in\ker A^T A\Rightarrow\mathbf{x}\in\ker A\), cioè \(\ker (A^T A)\subset\ker A\).
Che \(\ker A\subset\ker (A^T A)\) è evidente: \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\Rightarrow A^T A\mathbf{x}=\mathbf{0}\). Perciò \(\ker (A^T A)=\ker A\).
Dal teorema fondamentale dell'algebra lineare hai che\[r(A_{m×n})=n-\dim(\ker A)\]Quindi \(r(A^T A)=n-\dim(\ker A)=r(A)\).
Ho controllato sullo Strang, Algebra lineare, per non dire altre str***ate.
Ciao!
Ciao Davide,
grazie per la tua risposta!
Penso di essermi spiegato male, la mia matrice A è di rango pieno per colonne, quindi $ A\in R^(mxn)$ e quindi $ r(A) = n $ e non posso usare il tuo ragionamento perché il rango di A non è m ma n!
Ho trovato che qui http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?t=48735&p=353942 viene enunciata la proprietà che cerco ( che $ A^T A $ è invertibile) ma non c'è la dimostrazione ...
grazie per la tua risposta!
Penso di essermi spiegato male, la mia matrice A è di rango pieno per colonne, quindi $ A\in R^(mxn)$ e quindi $ r(A) = n $ e non posso usare il tuo ragionamento perché il rango di A non è m ma n!
Ho trovato che qui http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?t=48735&p=353942 viene enunciata la proprietà che cerco ( che $ A^T A $ è invertibile) ma non c'è la dimostrazione ...
Ho corretto, scusa per la svista: non avevo neppure considerato il rango dell'inversa destra $C$, che resta comunque il fatto che esiste se e solo se \(r(A_{m×n})=m\). Ieri ero un po' fuso per il troppo arrovellarmi su una sottigliezza di topologia differenziale che il mio testo non specificava più di tanto...
Ok Davide, grazie mille per la tua risposta, ora mi torna tutto! 
Essendo io un pò pigonolo vorrei solo correggere una piccolissima imprecisione:
L'immagine di $A$ è ortogonale al nucleo di $A^T$ solo se si ha a che fare con prodotti scalari euclidei, altrimenti si dovrebbe tirare in ballo la trasformazione aggiunta ...
Essendo io un pò pigonolo vorrei solo correggere una piccolissima imprecisione:
L'immagine di $A$ è ortogonale al nucleo di $A^T$ solo se si ha a che fare con prodotti scalari euclidei, altrimenti si dovrebbe tirare in ballo la trasformazione aggiunta ...
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