Rango

[n.icola114]

Ciao,

una domanda semplicissima che mi serve per capire la dipendenza/indipendenza lineare,
il rango più basso possibile di una matrice quanto vale ?

[giuseppe87x]

Uno..

[n.icola114]

Grazie Giuseppe,

però ho ancora qualche dubbio infatti se il rango minimo è uno
questo vorrebbe dire, da quanto ho capito che ogni riga è linearmente indipendente a se stessa

[_Tipper]

No il rango più basso vale zero, ed è quello della matrice nulla, cioè quella che ha tutti zeri.

[n.icola114]

Che la matrice nulla abbia rango zero riesco a capirlo
quello che non riesco a capire è come sia possibile che una matrice abbia rango uno

io ho trovato questa definizione di rango
il massimo numero di colonne o righe linearmente indipendenti, prendendo una matrice con due righe
se queste sono linearmente indipendenti il rango è 2, ma se queste sono dipendenti perchè il rango è 1 ?

[_Tipper]

Mettila così: il rango è la dimensione dello spazio generato dalle righe (o dalle colonne).

[n.icola114]

Vorrebbe dire che da una riga posso ottenere tutte le altre ?
Di più non so perchè non ho ancora studiato queste cose, riguarda gli spazi vettoriali ?

[Camillo]

Considera la matrice $A=((2,5),(4,10)) $ .
Le due righe ( e anche ovviamente le due colonne ) sono linearmente dipendenti , essendo una multipla dell'altra.
Di conseguenza il determinante della matrice vale $0 $ e la matrice ha rango $1 $.
Le uniche sottomatrici aventi determinante diverso da 0 sono quelle composte da un solo elemento :
$ (2) ; (5) ; (4) ; (10) $

[n.icola114]

Quindi è per questo che la dimensione è 1,
non ho ancora studiato queste cose ma mi sono già fatto un idea

grazie, ciao

[giuseppe87x]

"Tipper":No il rango più basso vale zero, ed è quello della matrice nulla, cioè quella che ha tutti zeri.

Io ho letto che il rango è definito come il massimo dei minori non nulli. Allora si pone per definizione che il rango di una matrice nulla è zero?

[PL3]

Io ho letto che il rango è definito come il massimo dei minori non nulli. Allora si pone per definizione che il rango di una matrice nulla è zero?

questo è un modo per calcolare il rango di una matrice... a parte che se la matrice è nulla non ci sono minori che hanno determinante diverso da zero, quindi concludi già che il rango deve essere zero.
In realtà il rango di una matrice è definito come la dimensione dello spazio generato dalle colonne della matrice (o dalle righe, che porta ad un risultato analogo). Ovviamente la matrice nulla genera uno spazio di dimensione zero, poichè qualunque combinazione lineare di vettori nulli dà inevitabilmente l'elemento nullo.

[_Tipper]

Un insieme di vettori nulli non può che generare lo spazio nullo, che ha dimensione zero...

[_Tipper]

"giuseppe87x":[quote="Tipper"]No il rango più basso vale zero, ed è quello della matrice nulla, cioè quella che ha tutti zeri.

Io ho letto che il rango è definito come il massimo dei minori non nulli. Allora si pone per definizione che il rango di una matrice nulla è zero?[/quote]
Mettila così: in una matrice nulla i minori non nulli quanti sono? Zero.