Radicale
Ciao a tutti! non riesco a capire questa affermazione presente nelle mie dispense di geometria:
In $RR^n$, il radicale contiene tutti i vettori isotropi se e solo se il prodotto scalare è definito o semidefinito.
Per il caso in cui è definito è semplice, si ha che $\langlev,v\rangle=0 rArr v=0$, e siccome $V^bot = {0}$ è naturale che tutti (o meglio l'unico) vettori isotropi facciano parte del radicale...
Non capisco però perchè la cosa sia vera anche per il caso semidefinito...
In $RR^n$, il radicale contiene tutti i vettori isotropi se e solo se il prodotto scalare è definito o semidefinito.
Per il caso in cui è definito è semplice, si ha che $\langlev,v\rangle=0 rArr v=0$, e siccome $V^bot = {0}$ è naturale che tutti (o meglio l'unico) vettori isotropi facciano parte del radicale...
Non capisco però perchè la cosa sia vera anche per il caso semidefinito...
Risposte
Puoi iniziare a capirlo dimostrando che il sottoinsieme dei vettori isotropi è un sottospazio vettoriale di $V$ se e solo se il prodotto è semidefinito e, magari, questo sottospazio è proprio $V^{\bot}$.
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