$R^2={M(2)}/{O(2)}$

[lorandrum]

Non riesco ad esplicitare questo isomorfismo: $R^2=\frac{M(2)}{O(2)}$, ove $M(2)$ è il gruppo delle isometrie (lineari) del piano e $O(2)$ il gruppo ortogonale. Riuscite a darmi una mano? La cosa mi spiazza un attimo.

[dissonance]

E sì, perché una isometria è la composizione di una rotazione e di una traslazione. Fai il quoziente rispetto al gruppo ortogonale, ovvero non consideri la rotazione, rimane la traslazione.

P.S.: Vabbé, va detto meglio. Non necessariamente una isometria è composizione di una rotazione e di una traslazione, potrebbe anche essere ad esempio una riflessione ed una traslazione. In ogni caso una isometria ha sempre la forma

$f(x, y)=A((x), (y))+((x_0), (y_0))$, dove $A\inO(2)$.