Quozienti ed equivalenze
Ciao a tutti, ieri ho incontrato il concetto di topologia quoziente e ho alcuni dubbi sulla notazione e sul significato. Se quanto posto è corretto, aggiungerò in seguito alcuni esempi che mi lasciano perplesso.
Comincio riportando le definizioni come vengono presentate dalla dispensa che seguo.
Def Sia $f:XrarrY$ un'applicazione suriettiva da uno spazio topologico $X$ su un insieme $Y$. La topologia più fine su $Y$ che rende $f$ continua è detta topologia quoziente; si ha $tau_f={UsubY | f^(-1)(U) text{ aperto in Y}}$.
Qui mi sorge il primo dubbio. Perché si va a scegliere la topologia più fine? Per poter coprire tutti gli aperti della topologia di partenza?
Si prosegue assimilando tale applicazione suriettiva ad una relazione di equivalenza in $X$ definita da $x∼_fx' hArr f(x)=f(x')$. $Y$ viene definito insieme quoziente rispetto a tale relazione e $f$ proiezione sul quoziente.
Qui dovrei esserci: abbiamo l'equivalenza tra due punti se e solo se le loro immagini mediante una certa applicazione coincidono. Sostanzialmente questo equivale ad un incollamento: due punti sono equivalenti se con una deformazione li posso portare nel medesimo punto dell'insieme di arrivo. E' corretta questa versione intuitiva?
Dunque, uno spazio $X$ dotato di una certa relazione di equivalenza si denota con $Xtext{/}∼$. Per costruire lo spazio quoziente devo dunque partire da $X$, e incollare i punti in base alla relazione definita su di esso. Come esempio più semplice riporto il cilindro: data una relazione di equivalenza $∼$ in $X=I xx I sub RR^2$ si ha
$(x,y)∼(x',y') hArr {((x,y)=(x',y')),({x,x'}={0,1} vv y=y'):}$
che incolla i lati del quadrato unendo i punti alla stessa quota lungo le verticali $x=0$ e $x=1$. (tra l'altro, come posso mostrare che lo spazio quoziente così ottenuto è omeomorfo a $S^1 xx I sub RR^3$ con la topologia indotta da $tau_(epsilon)$?).
Vengono dati poi altri esempi, sfere, tori, nastri di Moebius, bottiglie di Klein (quest'ultima la trovo impossibile da visualizzare...) su cui però sono abbastanza tranquillo.
Quello che ho scritto fino ad adesso ha senso? Vorrei assicurarmi di stare capendo bene questo argomento che mi pare sia piuttosto importante in topologia
Comunque, quello che mi lascia dei dubbi è la contrazione a un punto di un sottoinsieme: dato $AsubX$ si definisce la relazione di equivalenza $∼_A$ in modo che
$x∼_Ax' hArr$ ${(x=x'),(xtext{ e }x'text{ stanno entrambi in A}):}$
Quindi in pratica l'idea è che incolliamo tra loro tutti i punti del sottoinsieme. Con $Xtext{/}A$ dunque indico un particolare spazio quoziente in cui tutti i punti dell'insieme $A$ vengono uniti tra loro. Come esempio facile si riporta $X=I$, $A={0,1}$: $Xtext{/}A$ si ottiene ruotando un estremo fino a farlo combaciare con l'opposto, ottenendo così una circonferenza $S^1$; si mostra infatti l'omeomorfismo tra questi due spazi con l'applicazione di rotazione $f(t)=(cos2pit, sin2pit)$.
L'idea è giusta?
Tutto questo ambaradàn si può giustificare grazie al teorema di omeomorfismi di quozienti, che afferma che se $f$ è un omeomorfismo, e per ogni $x,x'$ in $X$ $x∼_Xx' hArr f(x)∼_Yf(x')$ allora $Xtext{/}∼_X~=Ytext{/}∼_Y$; in soldoni, uno spazio $X$ e il suo quoziente $Xtext{/}∼_f$, se le ipotesi sono soddisfatte, sono omeomorfi, e dunque si conservano le varie proprietà di compattezza, connessione, Hausdorffità.
Una cosa che mi sfugge: in tutto questo discorso come si colloca l'idea del passaggio al quoziente? Da quello che capisco, l'incollamento si ha se per $x∼_fx'$ $f(x)=f(x')$; forse passare al quoziente consiste nel dire, bene, incollo tutti i punti in $X$ che abbiano immagini equivalenti in $Y$ per ottenere lo spazio quoziente?
So di aver messo tanta carne al fuoco ma è un argomento importante e non volevo riempire il forum con centodieci post diversi tutti frammentati
grazie a chiunque avrà voglia di rispondere anche solo ad una delle mie domande...
Comincio riportando le definizioni come vengono presentate dalla dispensa che seguo.
Def Sia $f:XrarrY$ un'applicazione suriettiva da uno spazio topologico $X$ su un insieme $Y$. La topologia più fine su $Y$ che rende $f$ continua è detta topologia quoziente; si ha $tau_f={UsubY | f^(-1)(U) text{ aperto in Y}}$.
Qui mi sorge il primo dubbio. Perché si va a scegliere la topologia più fine? Per poter coprire tutti gli aperti della topologia di partenza?
Si prosegue assimilando tale applicazione suriettiva ad una relazione di equivalenza in $X$ definita da $x∼_fx' hArr f(x)=f(x')$. $Y$ viene definito insieme quoziente rispetto a tale relazione e $f$ proiezione sul quoziente.
Qui dovrei esserci: abbiamo l'equivalenza tra due punti se e solo se le loro immagini mediante una certa applicazione coincidono. Sostanzialmente questo equivale ad un incollamento: due punti sono equivalenti se con una deformazione li posso portare nel medesimo punto dell'insieme di arrivo. E' corretta questa versione intuitiva?
Dunque, uno spazio $X$ dotato di una certa relazione di equivalenza si denota con $Xtext{/}∼$. Per costruire lo spazio quoziente devo dunque partire da $X$, e incollare i punti in base alla relazione definita su di esso. Come esempio più semplice riporto il cilindro: data una relazione di equivalenza $∼$ in $X=I xx I sub RR^2$ si ha
$(x,y)∼(x',y') hArr {((x,y)=(x',y')),({x,x'}={0,1} vv y=y'):}$
che incolla i lati del quadrato unendo i punti alla stessa quota lungo le verticali $x=0$ e $x=1$. (tra l'altro, come posso mostrare che lo spazio quoziente così ottenuto è omeomorfo a $S^1 xx I sub RR^3$ con la topologia indotta da $tau_(epsilon)$?).
Vengono dati poi altri esempi, sfere, tori, nastri di Moebius, bottiglie di Klein (quest'ultima la trovo impossibile da visualizzare...) su cui però sono abbastanza tranquillo.
Quello che ho scritto fino ad adesso ha senso? Vorrei assicurarmi di stare capendo bene questo argomento che mi pare sia piuttosto importante in topologia
Comunque, quello che mi lascia dei dubbi è la contrazione a un punto di un sottoinsieme: dato $AsubX$ si definisce la relazione di equivalenza $∼_A$ in modo che
$x∼_Ax' hArr$ ${(x=x'),(xtext{ e }x'text{ stanno entrambi in A}):}$
Quindi in pratica l'idea è che incolliamo tra loro tutti i punti del sottoinsieme. Con $Xtext{/}A$ dunque indico un particolare spazio quoziente in cui tutti i punti dell'insieme $A$ vengono uniti tra loro. Come esempio facile si riporta $X=I$, $A={0,1}$: $Xtext{/}A$ si ottiene ruotando un estremo fino a farlo combaciare con l'opposto, ottenendo così una circonferenza $S^1$; si mostra infatti l'omeomorfismo tra questi due spazi con l'applicazione di rotazione $f(t)=(cos2pit, sin2pit)$.
L'idea è giusta?
Tutto questo ambaradàn si può giustificare grazie al teorema di omeomorfismi di quozienti, che afferma che se $f$ è un omeomorfismo, e per ogni $x,x'$ in $X$ $x∼_Xx' hArr f(x)∼_Yf(x')$ allora $Xtext{/}∼_X~=Ytext{/}∼_Y$; in soldoni, uno spazio $X$ e il suo quoziente $Xtext{/}∼_f$, se le ipotesi sono soddisfatte, sono omeomorfi, e dunque si conservano le varie proprietà di compattezza, connessione, Hausdorffità.
Una cosa che mi sfugge: in tutto questo discorso come si colloca l'idea del passaggio al quoziente? Da quello che capisco, l'incollamento si ha se per $x∼_fx'$ $f(x)=f(x')$; forse passare al quoziente consiste nel dire, bene, incollo tutti i punti in $X$ che abbiano immagini equivalenti in $Y$ per ottenere lo spazio quoziente?
So di aver messo tanta carne al fuoco ma è un argomento importante e non volevo riempire il forum con centodieci post diversi tutti frammentati
grazie a chiunque avrà voglia di rispondere anche solo ad una delle mie domande...
Risposte
"Leo S.":
Def Sia $f:XrarrY$ un'applicazione suriettiva da uno spazio topologico $X$ su un insieme $Y$. La topologia più fine su $Y$ che rende $f$ continua è detta topologia quoziente; si ha $tau_f={UsubY | f^(-1)(U) text{ aperto in Y}}$.
Qui mi sorge il primo dubbio. Perché si va a scegliere la topologia più fine? Per poter coprire tutti gli aperti della topologia di partenza?
Più aperti ha la topologia del codominio, più una funzione avrà difficoltà a essere continua, e dualmente meno aperti ha la topologia del dominio, più una funzione avrà difficoltà a essere continua. Gli esempi estremali sono topologia discreta sul dominio (ogni funzione è continua) e banale sul codominio (ogni funzione è continua).
Perciò è interessante considerare la topologia su un codominio che è massima rispetto alla continuità di una funzione: aggiungendo più aperti, la funzione smette di esserlo, perché potresti averne aggiunto uno che non ha controimmagine aperta nel dominio.
Leggermente più in generale, data una famiglia di funzioni $p_i : X \to A_i$ da un insieme verso spazi topologici $A_i$ puoi chiederti quale sia la topologia meno fine da rendere continue tutte le $p_i$. E dualmente... prova a scriverlo tu.
Si prosegue assimilando tale applicazione suriettiva ad una relazione di equivalenza in $X$ definita da $x∼_fx' hArr f(x)=f(x')$. $Y$ viene definito insieme quoziente rispetto a tale relazione e $f$ proiezione sul quoziente.
Qui dovrei esserci: abbiamo l'equivalenza tra due punti se e solo se le loro immagini mediante una certa applicazione coincidono. Sostanzialmente questo equivale ad un incollamento: due punti sono equivalenti se con una deformazione li posso portare nel medesimo punto dell'insieme di arrivo. E' corretta questa versione intuitiva?
No: non stai identificando punti a meno di deformazione, li stai identificando letteralmente. Il processo di identificazione puntuale è un pushout nella tua categoria di spazi topologici preferita, laddove l'identificazione a meno di omotopia è un pushout omotopico.
Dunque, uno spazio $X$ dotato di una certa relazione di equivalenza si denota con $Xtext{/}∼$.
No: uno spazio topologico $X$ con una relazione di equivalenza \(\sim\) si denota come la coppia \((X,\sim)\). E' il quoziente a indicarsi come $Xtext{/}∼$. Quoziente che è determinato a meno di isomorfismo come...
Per costruire lo spazio quoziente devo dunque partire da $X$, e incollare i punti in base alla relazione definita su di esso. Come esempio più semplice riporto il cilindro: data una relazione di equivalenza $∼$ in $X=I xx I sub RR^2$ si ha
$(x,y)∼(x',y') hArr {((x,y)=(x',y')),({x,x'}={0,1} vv y=y'):}$
che incolla i lati del quadrato unendo i punti alla stessa quota lungo le verticali $x=0$ e $x=1$. (tra l'altro, come posso mostrare che lo spazio quoziente così ottenuto è omeomorfo a $S^1 xx I sub RR^3$ con la topologia indotta da $tau_(epsilon)$?).
...appunto. Lo spazio quoziente con la sua topologia ha una proprietà universale, che è quella che erroneamente ricordi sotto: data una funzione continua $X \to S$ che è costante sulle classi di \(\sim\)-equivalenza, questa funzione scende al quoziente, ad una funzione \(\bar f : X/_{\sim} \to S\) in un unico modo. E' questa unicità che, con un ragionamento classico di algebra universale, ti permette di dimostrare che uno spazio dato è omeomorfo a un opportuno quoziente.
Tutto questo ambaradàn si può giustificare grazie al teorema di omeomorfismi di quozienti, che afferma che se $f$ è un omeomorfismo, e per ogni $x,x'$ in $X$ $x∼_Xx' hArr f(x)∼_Yf(x')$ allora $Xtext{/}∼_X~=Ytext{/}∼_Y$; in soldoni, uno spazio $X$ e il suo quoziente $Xtext{/}∼_f$, se le ipotesi sono soddisfatte, sono omeomorfi, e dunque si conservano le varie proprietà di compattezza, connessione, Hausdorffità.
Una cosa che mi sfugge: in tutto questo discorso come si colloca l'idea del passaggio al quoziente? Da quello che capisco, l'incollamento si ha se per $x∼_fx'$ $f(x)=f(x')$; forse passare al quoziente consiste nel dire, bene, incollo tutti i punti in $X$ che abbiano immagini equivalenti in $Y$ per ottenere lo spazio quoziente?
Quello che scrivi è sbagliato, perché invece di omomorfismo hai letto omeomorfismo. La proprietà universale di un quoziente è quella che ho scritto sopra. E' poi chiaro che se $f$ è un omeomorfismo, la mappa quoziente \(X \to X/_{\sim_f}\) è un omeomorfismo (prova a dimostrarlo completamente!).
"killing_buddha":
Più aperti ha la topologia del codominio, più una funzione avrà difficoltà a essere continua, e dualmente meno aperti ha la topologia del dominio, più una funzione avrà difficoltà a essere continua. Gli esempi estremali sono topologia discreta sul dominio (ogni funzione è continua) e banale sul codominio (ogni funzione è continua).
Perciò è interessante considerare la topologia su un codominio che è massima rispetto alla continuità di una funzione: aggiungendo più aperti, la funzione smette di esserlo, perché potresti averne aggiunto uno che non ha controimmagine aperta nel dominio.
Ho capito, grazie.
"killing_buddha":
E dualmente... prova a scriverlo tu.
Qui invece non capisco cosa dovrei provare a scrivere ... l'avverbio dualmente mi ha messo in crisi. Forse devo semplicemente chiedermi, data una famiglia di applicazioni $p_i$ da spazi topologici $A_i$ a un insieme $X$, quale sia la topologia più fine che renda continue tali applicazioni (che sarebbe poi la nostra topologia quoziente)?
"killing_buddha":
No: non stai identificando punti a meno di deformazione, li stai identificando letteralmente. Il processo di identificazione puntuale è un pushout nella tua categoria di spazi topologici preferita, laddove l'identificazione a meno di omotopia è un pushout omotopico.
Premetto che la teoria delle categorie mi spaventa alquanto; in ogni caso, come posso visualizzare questa identificazione letterale? Alla fin fine, i punti identificati vengono sovrapposti nello spazio quoziente, o mi sbaglio?
Forse è improprio parlare di incollamento, il termine l'avevo preso leggendo la pagina di Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Topologia_quoziente
"killing_buddha":
No: uno spazio topologico X con una relazione di equivalenza ∼ si denota come la coppia (X,∼). E' il quoziente a indicarsi come X/∼
Hai perfettamente ragione, ho scritto una boiata senza rendermene conto...
"killing_buddha":
Quello che scrivi è sbagliato, perché invece di omomorfismo hai letto omeomorfismo.
Qui mi metti in crisi. Ho riportato praticamente passo per passo quello che le dispense chiamano omeomorfismi di quozienti:
Proposizione Sia $f:xrarrY$ un omeomorfismo; siano ∼_X e ∼_Y relazioni di equivalenza in $X$ e $Y$. Se $forallx,x'inX$ $x∼_Xx' hArr f(x)∼_Yf(x')$, allora $Xtext{/}∼_X$ e $Ytext{/}∼_Y$ sono omeomorfi tra loro.
Cosa c'entrano gli omomorfismi?
"Leo S.":
[quote="killing_buddha"]E dualmente... prova a scriverlo tu.
Qui invece non capisco cosa dovrei provare a scrivere ... l'avverbio dualmente mi ha messo in crisi. Forse devo semplicemente chiedermi, data una famiglia di applicazioni $p_i$ da spazi topologici $A_i$ a un insieme $X$, quale sia la topologia più fine che renda continue tali applicazioni (che sarebbe poi la nostra topologia quoziente)?
[/quote]
Sì, esatto: devi mostrare che è ben definita la topologia finale.
"killing_buddha":
No: non stai identificando punti a meno di deformazione, li stai identificando letteralmente. Il processo di identificazione puntuale è un pushout nella tua categoria di spazi topologici preferita, laddove l'identificazione a meno di omotopia è un pushout omotopico.
Premetto che la teoria delle categorie mi spaventa alquanto; in ogni caso, come posso visualizzare questa identificazione letterale? Alla fin fine, i punti identificati vengono sovrapposti nello spazio quoziente, o mi sbaglio?
Infatti. Del resto non è questo quel che hai detto nell'altro commento
non stai identificando punti a meno di deformazione (questo sarebbe identificarli a meno di omotopia)."killing_buddha":
Quello che scrivi è sbagliato, perché invece di omomorfismo hai letto omeomorfismo.
Qui mi metti in crisi. Ho riportato praticamente passo per passo quello che le dispense chiamano omeomorfismi di quozienti:
Proposizione Sia $f:xrarrY$ un omeomorfismo; siano ∼_X e ∼_Y relazioni di equivalenza in $X$ e $Y$. Se $forallx,x'inX$ $x∼_Xx' hArr f(x)∼_Yf(x')$, allora $Xtext{/}∼_X$ e $Ytext{/}∼_Y$ sono omeomorfi tra loro.
Cosa c'entrano gli omomorfismi?
Niente, quel che scrivi è vero, ma non capisco come lo volessi correlare a tutto ciò che hai scritto prima, e temevo avessi confuso la proprietà universale della topologia quoziente con un altro teorema (che se è questo, infatti, non è lo stesso risultato: questo ti sta dicendo che un omeomorfismo che rispetta le relazioni di equivalenza deve scendere a un omeomorfismo tra i quozienti)
"killing_buddha":
Infatti. Del resto non è questo quel che hai detto nell'altro commento non stai identificando punti a meno di deformazione (questo sarebbe identificarli a meno di omotopia).
Sì, sbirciando nel capitolo sull'omotopia mi sono reso conto di quanto abbia usato impropriamente il termine deformazione...
"killing_buddha":
Niente, quel che scrivi è vero, ma non capisco come lo volessi correlare a tutto ciò che hai scritto prima, e temevo avessi confuso la proprietà universale della topologia quoziente con un altro teorema (che se è questo, infatti, non è lo stesso risultato: questo ti sta dicendo che un omeomorfismo che rispetta le relazioni di equivalenza deve scendere a un omeomorfismo tra i quozienti)
In effetti quel teorema messo lì così è un po' casuale ora che ci rifletto.
Comunque, mi restano due dubbi: cosa si intende esattamente con scendere al quoziente? Semplicemente che una mappa rispetta la proprietà universale del quoziente?
Inoltre, che differenza c'è tra la notazione $Xtext{/}∼_X$ e $Xtext{/}∼_f$? La prima indicherebbe lo spazio quoziente ottenuto "applicando" la relazione $∼_X$ sui punti di $X$, mentre la seconda applicando la relazione indotta dalla mappa suriettiva $f$?
"Leo S.":
Inoltre, che differenza c'è tra la notazione $Xtext{/}∼_X$ e $Xtext{/}∼_f$? La prima indicherebbe lo spazio quoziente ottenuto "applicando" la relazione $∼_X$ sui punti di $X$, mentre la seconda applicando la relazione indotta dalla mappa suriettiva $f$?
Esatto nel primo caso si passa al quoziente su una relazione di equivalenza qualsiasi, mentre nel secondo caso passi al quoziente tramite la relazione che mette in relazione due punti se hanno la stessa immagine tramite la funzione $f$, che ovviamente è una relazione di equivalenza.
Grazie otta. Per quanto riguarda l'altra domanda, sapresti rispondermi?
Intendi questa?
Se si, non ho ben presente cosa sia la proprietà universale del quoziente, ma provo comunque a spiegarti intuitivamente cosa significa passare al quoziente: se hai uno spazio topologico e una relazione di equivalenza sull'insieme, quozientare (topologicamente) significa che stai identificando tutte le classi di equivalenza, ovvero se due punti erano in relazione dopo aver quozientato li consideri come unico punto.
"Leo S.":
Comunque, mi restano due dubbi: cosa si intende esattamente con scendere al quoziente? Semplicemente che una mappa rispetta la proprietà universale del quoziente?
Se si, non ho ben presente cosa sia la proprietà universale del quoziente, ma provo comunque a spiegarti intuitivamente cosa significa passare al quoziente: se hai uno spazio topologico e una relazione di equivalenza sull'insieme, quozientare (topologicamente) significa che stai identificando tutte le classi di equivalenza, ovvero se due punti erano in relazione dopo aver quozientato li consideri come unico punto.
Ok, ti ringrazio. Pensavo avesse un significato più specifico.
Se ce l'ha, io non lo conosco, quindi non è detto che non ce l'abbia.
"otta96":
Non ho ben presente cosa sia la proprietà universale del quoziente
Ogni volta che hai \((X,\sim)\) e una funzione continua $f : X \to A$ tale che se \(x\sim y\) allora $f(x)=f(y)$, allora esiste un'unica \(\bar f : X/_{\sim}\to A\) a riempire il diagramma
\[
\begin{CD}
X @>f>> A \\
@V\pi VV @| \\
X/_{\sim} @>>{\bar f}> A
\end{CD}
\] dove $\pi$ è la proiezione sul quoziente.
Io conosco una versione equivalente ma forse più semplice: data una mappa suriettiva $f$ tra lo spazio topologico $X$ e l'insieme $Y$ dotato della topologia quoziente rispetto ad $f$, e $g:YrarrZ$ una mappa tra spazi toplogici, si ha che $g◦f$ è continua se e solo se $g$ è continua.
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