Quoziente di uno spazio localmente connesso
Salve a tutti,sono nuova nel forum (quindi mi scuso in anticipo nel caso dovessi fare qualcosa di sbagliato).
La domanda che volevo farvi è : il quoziente di uno spazio topologico localmente connesso è ancora loc.connesso? Oppure ciò è vero solo se \pi (proiezione canonica sul quoziente) è aperta?
Inoltre: è vero che se U è un aperto di Rn e x un suo punto allora U è connesso se e solo se U\{x} è connesso?
Grazie in anticipo.
La domanda che volevo farvi è : il quoziente di uno spazio topologico localmente connesso è ancora loc.connesso? Oppure ciò è vero solo se \pi (proiezione canonica sul quoziente) è aperta?
Inoltre: è vero che se U è un aperto di Rn e x un suo punto allora U è connesso se e solo se U\{x} è connesso?
Grazie in anticipo.
Risposte
CIa0, benvenuta! 
"Chiara91":No: basta prendere un intervallo aperto in \(\mathbb{R}\)!
...Inoltre: è vero che se U è un aperto di Rn e x un suo punto allora U è connesso se e solo se U\{x} è connesso?...
No: basta prendere un intervallo aperto in \(\mathbb{R}\)!
Sì,in effetti in R è banalmente falso.Ma in R2 ad esempio?
Sì, Il quoziente di uno spazio localmente connesso è sempre localmente connesso, non occorre supporre che la proiezione sia aperta. Questo fatto è menzionato nel libro di Munkres, seguo la sua dimostrazione:
Lemma: uno spazio topologico $X$ è localmente connesso se e solo se per ogni aperto $U$ di $X$ le componenti connesse di $U$ sono aperte in $X$
Dim:
$(rArr)$ Sia $U$ aperto di $X$, $C$ componente connessa di $U$ e prendiamo un punto $x in C$. $U$ è intorno di $x$, perciò esiste $V$ intorno di $x$ che è connesso e contenuto in $U$. Poiché $V$ è connesso deve essere interamente contenuto in $C$. Quindi $C$ è aperto in $X$
$(lArr)$ Sia $x in X$, $U$ intorno aperto di $x$. Consideriamo la componente connessa di $U$ che contiene $x$. Per ipotesi è aperta, quindi è intorno di $x$, ma è connessa e contenuta in $U$.
Th: Se $X$ è spazio topologico e $Y=X$ $/$~ è quoziente, allora $X$ localmente connesso $rArr$ $Y$ localmente connesso
Dim:
Sia $U$ aperto di $Y$, e $C$ componente connessa di $U$. $pi^{-1}(U)$ è allora aperto in $X$, e $pi^{-1}(C)$ è unione di componenti connesse di $pi^{-1}(U)$, che per il lemma1 sono aperte. Perciò $pi^{-1}(C)$ è aperto e $C$ è aperto in $Y$.
Lemma: uno spazio topologico $X$ è localmente connesso se e solo se per ogni aperto $U$ di $X$ le componenti connesse di $U$ sono aperte in $X$
Dim:
$(rArr)$ Sia $U$ aperto di $X$, $C$ componente connessa di $U$ e prendiamo un punto $x in C$. $U$ è intorno di $x$, perciò esiste $V$ intorno di $x$ che è connesso e contenuto in $U$. Poiché $V$ è connesso deve essere interamente contenuto in $C$. Quindi $C$ è aperto in $X$
$(lArr)$ Sia $x in X$, $U$ intorno aperto di $x$. Consideriamo la componente connessa di $U$ che contiene $x$. Per ipotesi è aperta, quindi è intorno di $x$, ma è connessa e contenuta in $U$.
Th: Se $X$ è spazio topologico e $Y=X$ $/$~ è quoziente, allora $X$ localmente connesso $rArr$ $Y$ localmente connesso
Dim:
Sia $U$ aperto di $Y$, e $C$ componente connessa di $U$. $pi^{-1}(U)$ è allora aperto in $X$, e $pi^{-1}(C)$ è unione di componenti connesse di $pi^{-1}(U)$, che per il lemma1 sono aperte. Perciò $pi^{-1}(C)$ è aperto e $C$ è aperto in $Y$.
Per la seconda questione richiamo questo lemma, probabilmente lo conosci già, nel caso posso postare la dimostrazione che è molto semplice
Lemma: in uno spazio localmente connesso per archi, le componenti connesse e le componenti connesse per archi coincidono.
Corollario: Gli aperti di $RR^n$ sono connessi se e solo se sono connessi per archi (gli aperti di $RR^n$ sono ovviamente localmente connessi per archi in quanto ogni punto ammette un intorno che è una palla aperta, quindi connesso per archi)
Th: Sia $U$ aperto di $RR^n$ $[n>=2]$ e sia $x in U$: $U$ e connesso se e solo se $U\{x}$ è connesso
Dim:
Gli aperti di $RR^n$ sono, in modo ovvio, localmente connessi per archi (ogni punto ammette un intorno che è una palla, e le palle sono spazi connessi per archi, essendo omeomorfi a $RR^n$). Quindi $U$ è connesso per archi. Prendiamo $a, b in U\{x}$ e sia $alpha:[0,1]->U$ arco che porta a in b. Se $alpha$ non passa da $x$ siamo a posto: $alpha$ è arco in $U\{x}$ che porta $a$ in $b$. Se invece $x in Im(alpha)$, allora consideriamo $T={t in [0,1] | alpha(t)=x}=alpha^{-1}({x})$ e si noti che $0, 1 notin T$, dato che $alpha(0)=a!=x$ e $alpha(0)=b!=x$. Poiché ${x}$ è chiuso, $T$ è chiuso in $[0,1]$, perciò ammette minimo e massimo $xi=minT$, $nu=maxT$. Poiché $U$ è aperto, esiste una palla aperta $B$ centrata in $x$ interamente contenuta in $U$. $alpha^{-1}(B)$ è allora aperto di $[0,1]$ e $T sube alpha^{-1}(B)$. Perciò esistono $phinu$ t.c, detti $c=alpha(phi)$ e $d = alpha(psi)$, si ha $c,d!=x$ e $c,d in B$
Adesso $alpha|_[0,phi]$ è arco che porta a in c senza passare da x. Di certo esiste un arco che porta c in d rimanendo dentro la palla privata del centro B\{x} (si noti che una palla privata del centro è omeomorfa a $RR^n$$\{0}$! probabilmente hai già visto che è connesso per archi, in ogni caso è veramente facile da mostrare, anche scrivendo esplicitamente l'espressione dell'arco!), e $alpha|_[psi, 1]$ è arco che porta d in b. La congiunzione di questi tre dà un arco che porta a in b senza passare da x.
Il viceversa è molto facile: presa B palla aperta centrata in x contenuta in U, si può scrivere U come unione di U\{x} e della palla B, unione di due connessi con intersezione non vuota, quindi U è connesso.
Lemma: in uno spazio localmente connesso per archi, le componenti connesse e le componenti connesse per archi coincidono.
Corollario: Gli aperti di $RR^n$ sono connessi se e solo se sono connessi per archi (gli aperti di $RR^n$ sono ovviamente localmente connessi per archi in quanto ogni punto ammette un intorno che è una palla aperta, quindi connesso per archi)
Th: Sia $U$ aperto di $RR^n$ $[n>=2]$ e sia $x in U$: $U$ e connesso se e solo se $U\{x}$ è connesso
Dim:
Gli aperti di $RR^n$ sono, in modo ovvio, localmente connessi per archi (ogni punto ammette un intorno che è una palla, e le palle sono spazi connessi per archi, essendo omeomorfi a $RR^n$). Quindi $U$ è connesso per archi. Prendiamo $a, b in U\{x}$ e sia $alpha:[0,1]->U$ arco che porta a in b. Se $alpha$ non passa da $x$ siamo a posto: $alpha$ è arco in $U\{x}$ che porta $a$ in $b$. Se invece $x in Im(alpha)$, allora consideriamo $T={t in [0,1] | alpha(t)=x}=alpha^{-1}({x})$ e si noti che $0, 1 notin T$, dato che $alpha(0)=a!=x$ e $alpha(0)=b!=x$. Poiché ${x}$ è chiuso, $T$ è chiuso in $[0,1]$, perciò ammette minimo e massimo $xi=minT$, $nu=maxT$. Poiché $U$ è aperto, esiste una palla aperta $B$ centrata in $x$ interamente contenuta in $U$. $alpha^{-1}(B)$ è allora aperto di $[0,1]$ e $T sube alpha^{-1}(B)$. Perciò esistono $phi
Adesso $alpha|_[0,phi]$ è arco che porta a in c senza passare da x. Di certo esiste un arco che porta c in d rimanendo dentro la palla privata del centro B\{x} (si noti che una palla privata del centro è omeomorfa a $RR^n$$\{0}$! probabilmente hai già visto che è connesso per archi, in ogni caso è veramente facile da mostrare, anche scrivendo esplicitamente l'espressione dell'arco!), e $alpha|_[psi, 1]$ è arco che porta d in b. La congiunzione di questi tre dà un arco che porta a in b senza passare da x.
Il viceversa è molto facile: presa B palla aperta centrata in x contenuta in U, si può scrivere U come unione di U\{x} e della palla B, unione di due connessi con intersezione non vuota, quindi U è connesso.
grazie mille ZeroMemory!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo