Quoziente con la relazione dalle comp. connesse
Sia [tex]S[/tex] spazio topologico. Denoto con [tex]\mathcal{R}_C[/tex] la relazione individuata dalle componenti connesse dello spazio (due punti sono in relazione se e solo se appartengono alla stessa componente connessa). Non riesco a dimostrare che il quoziente [tex]S/\mathcal{R}_C[/tex] è uno spazio totalmente discontinuo (cioè le sue componenti connesse sono ridotte ai singoli punti; in questo caso alle singole classi, cioè alle singole componenti connesse).
Suppongo per assurdo che esista in [tex]S/\mathcal{R}_C[/tex] un connesso con almeno due elementi distinti (questo è l'unico approccio che mi viene in mente per provare la tesi). Allora [tex]\exists\ C_1, C_2 \in S/\mathcal{R}_C[/tex] distinti appartenenti a tale connesso. Se [tex]\pi:S \rightarrow S/\mathcal{R}_C[/tex] è la surgezione canonica, [tex]\pi^{-1}(C_1) = C_1,\ \pi^{-1}(C_2) = C_2[/tex] sono componenti connesse di S [...]
Suppongo per assurdo che esista in [tex]S/\mathcal{R}_C[/tex] un connesso con almeno due elementi distinti (questo è l'unico approccio che mi viene in mente per provare la tesi). Allora [tex]\exists\ C_1, C_2 \in S/\mathcal{R}_C[/tex] distinti appartenenti a tale connesso. Se [tex]\pi:S \rightarrow S/\mathcal{R}_C[/tex] è la surgezione canonica, [tex]\pi^{-1}(C_1) = C_1,\ \pi^{-1}(C_2) = C_2[/tex] sono componenti connesse di S [...]
Risposte
Fatto.
Osservo innanzitutto che [tex]S/\mathcal{R}_C[/tex] è [tex]T_1[/tex] (vale un risultato generale in topologia che stabilisce che il quoziente di uno spazio topologico è [tex]T_1[/tex] se e solo se le classi di equivalenza sono chiusi nello spazio: in questo caso le classi di equivalenza sono le componenti connesse, che sono chiuse). Suppongo ora per assurdo che esista [tex]B \subset S/\mathcal{R}_C[/tex] connesso costituito da più di un elemento. Sia [tex]C \in B[/tex]. [tex]C[/tex], essendo un elemento del quoziente, è una classe, cioè una componente connessa. [tex]C[/tex] è banalmente satura per la relazione di equivalenza (direi proprio per definizione della relazione), quindi la sua immagine mediante la surgezione canonica è aperta(*), cioè [tex]\{C\} = \pi(C)[/tex] è aperto. Questo insieme è anche chiuso perché lo spazio è [tex]T_1[/tex], non vuoto e distinto da [tex]B[/tex]. Ciò contraddice l'ipotesi che [tex]B[/tex] sia connesso.
EDIT: La deduzione (*) è errata.
Osservo innanzitutto che [tex]S/\mathcal{R}_C[/tex] è [tex]T_1[/tex] (vale un risultato generale in topologia che stabilisce che il quoziente di uno spazio topologico è [tex]T_1[/tex] se e solo se le classi di equivalenza sono chiusi nello spazio: in questo caso le classi di equivalenza sono le componenti connesse, che sono chiuse). Suppongo ora per assurdo che esista [tex]B \subset S/\mathcal{R}_C[/tex] connesso costituito da più di un elemento. Sia [tex]C \in B[/tex]. [tex]C[/tex], essendo un elemento del quoziente, è una classe, cioè una componente connessa. [tex]C[/tex] è banalmente satura per la relazione di equivalenza (direi proprio per definizione della relazione), quindi la sua immagine mediante la surgezione canonica è aperta(*), cioè [tex]\{C\} = \pi(C)[/tex] è aperto. Questo insieme è anche chiuso perché lo spazio è [tex]T_1[/tex], non vuoto e distinto da [tex]B[/tex]. Ciò contraddice l'ipotesi che [tex]B[/tex] sia connesso.
EDIT: La deduzione (*) è errata.
[OT] Perdonatemi, forse dal fatto che mi rispondo subito dopo aver scritto la domanda potrebbe indurvi a pensare che non ci abbia riflettuto nemmeno un attimo. Vi assicuro che questi che posto sul forum sono dubbi che ho dal giorno di lezione in cui ho preso appunti sull'argomento: quando li scrivo qui è perché proprio non so a che santo votarmi. Ho voluto specificare questa cosa per restare coerente con l'etica di questo forum. [/OT]
Non c'è alcun problema.
Anzi, ci ritroviamo qualche esercizio svolto per il forum, non è male.
Buon proseguimento!
Anzi, ci ritroviamo qualche esercizio svolto per il forum, non è male.
Buon proseguimento!
Mmm... Però mi sono accorto che la risoluzione è sbagliata.
Le componenti connesse non sono aperte (non so da dove mi sia saltato fuori che l'immagine tramite la surgezione sia aperta)
Le componenti connesse non sono aperte (non so da dove mi sia saltato fuori che l'immagine tramite la surgezione sia aperta)
Questa volta dovrebbe andare bene. Ho cercato tra alcuni miei esercizi svolti e ho trovato questa:
Proposizione: Sia [tex]S[/tex] spazio topologico, [tex]\mathcal{R}[/tex] relazione di equivalenza su [tex]S[/tex]. Se [tex]S/\mathcal{R}[/tex] è connesso e per ogni [tex][x]_\mathcal{R} \in S/\mathcal{R}[/tex] risulta che [tex][x]_\mathcal{R}[/tex] è un connesso di [tex]S[/tex], allora [tex]S[/tex] è connesso.
Ora, se per assurdo esistesse un connesso [tex]B \subset S/\mathcal{R}_C[/tex] con almeno due elementi, la controimmagine [tex]\pi^{-1}(B)[/tex] conterrebbe almeno due componenti connesse distinte, e quindi non sarebbe connessa. Ma per la proposizione precedente, poiché [tex]\forall\ [x]_{\mathcal{R}_C} \in B:\ [x]_{\mathcal{R}_C}[/tex] connesso in [tex]\pi^{-1}(B)[/tex], quest'ultimo insieme sarebbe connesso, che è un assurdo.
Proposizione: Sia [tex]S[/tex] spazio topologico, [tex]\mathcal{R}[/tex] relazione di equivalenza su [tex]S[/tex]. Se [tex]S/\mathcal{R}[/tex] è connesso e per ogni [tex][x]_\mathcal{R} \in S/\mathcal{R}[/tex] risulta che [tex][x]_\mathcal{R}[/tex] è un connesso di [tex]S[/tex], allora [tex]S[/tex] è connesso.
Ora, se per assurdo esistesse un connesso [tex]B \subset S/\mathcal{R}_C[/tex] con almeno due elementi, la controimmagine [tex]\pi^{-1}(B)[/tex] conterrebbe almeno due componenti connesse distinte, e quindi non sarebbe connessa. Ma per la proposizione precedente, poiché [tex]\forall\ [x]_{\mathcal{R}_C} \in B:\ [x]_{\mathcal{R}_C}[/tex] connesso in [tex]\pi^{-1}(B)[/tex], quest'ultimo insieme sarebbe connesso, che è un assurdo.
Bastava ricordarti chi è la topologia su [tex]$S_{/\mathcal{R_C}}$[/tex] e che ogni componente connessa di uno spazio topologico [tex]$(S;\mathcal{A})$[/tex] è un suo sottoinsieme chiuso!
"j18eos":
Bastava ricordarti chi è la topologia su [tex]$S_{/\mathcal{R_C}}$[/tex] e che ogni componente connessa di uno spazio topologico [tex]$(S;\mathcal{A})$[/tex] è un suo sottoinsieme chiuso!
Non ho capito come deduci che lo spazio è totalmente discontinuo
Con quello che dici tu deduco che il quoziente è [tex]T_1[/tex] perché i singletons sono chiusi, in quanto la loro controimmagine è un chiuso. È quello che ho scritto nella risoluzione sbagliata.
"giaorl":
Non ho capito come deduci che lo spazio è totalmente discontinuo
Forse j18eos voleva suggerirti di ricordare che uno spazio topologico è unione delle sue componenti connesse, che sono chiuse, quindi puoi pensare al complementare della componente connessa di un punto [tex]x \in B[/tex] e a mandarlo nel quoziente (o puoi farlo direttamente con la c.connessa, è uguale). Cosa puoi dire su questo insieme (intersecato con [tex]B[/tex]?)
@alvinlee88 Grazie! 
@giaorl Purtroppo devo fare un riferimento ad un'altra discussione aperta in questa sezione: ti ho voluto mettere la pulce nel pettine... ooops!,
nell'orecchio. 
@giaorl Purtroppo devo fare un riferimento ad un'altra discussione aperta in questa sezione: ti ho voluto mettere la pulce nel pettine... ooops!,
nell'orecchio.
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