"somma" di topologie

[NoSignal]

Sia $X$ un insieme, e ${tau}_alpha$ una famiglia ti topologie si $X$ mostrare che esiste un unica topologia piü piccola che contiene ogni topologia della famiglia e un unica topologia piu grande contenuta in ogni topologia della famiglia.

Concettualmente io ho pensato che se prendiamo l'unione $U$ di tutti gli elementi di ${tau}_alpha$ e la "chiudiamo" per intersezioni finite e unioni arbitrarie allora $U$ risulta essere una topologia su $X$ tale che presa una qualsiasi topologia $tau_t$ tale che $tau_alpha in tau_t AAalpha$ allora $U in tau_t$ ovvero la piu "piccola"; solo che non riesco bene a formalizzare. Come costruisco questa "chiusura"?
Per quanto riguarda il secondo punto, credo non ci siano problemi: se $tau_c$ è una topologia tale che $tau_c in tau_alpha AAalpha$ allora $tau_c in nnn_{alpha} tau_alpha$ e tale intersezione risulta essere una topologia;

[spugna2]

In generale, data una famiglia $S \subseteq \mathcal{P}(X)$, puoi definire la sua "chiusura" (detta più comunemente topologia generata) in due modi:

1) Come hai giustamente osservato, la proprietà "essere una topologia" è stabile per intersezione, quindi in particolare puoi prendere l'intersezione di tutte le topologie di $X$ che contengono $S$ (che è un'intersezione non vuota perché c'è sempre la topologia discreta), in analogia con la chiusura topologica di un insieme.

2) Se gli elementi di $S$ ricoprono $X$ (eventualmente si rimpiazza $S$ con $S \cup \{X\}$), allora l'insieme $B$ delle intersezioni finite di elementi di $S$ ha le proprietà di una base, perciò l'insieme $T$ di tutte le unioni di elementi di $B$ è una topologia, che è generata da $S$ nel senso che tutti i suoi elementi sono costruiti a partire da elementi in $S$ (talvolta si dice che $S$ è una prebase di $T$).

Non è difficile dimostrare che queste due definizioni sono equivalenti. Nel tuo caso si parte ovviamente da $S=uuu_{\alpha} \tau_{\alpha}$

[NoSignal]

Perfetto, mi hai chiarito le idee!