Quiz sulla matrice inversa
immagino tu conosca la risposta, ed anche bene, essendo molto più esperto di me, immagino. Dunque immagino che tu abbia voluto dare uno spunto di riflessione un po a tutti, che io accolgo cercando di darti una risposta, sperando coerente.
Il fatto che è in realtà quando si risolve un'equazione del tipo $ax=b$ (supponiamo di volerla risolvere in un certo campo $K$.
noi moltiplichiamo $a^(-1)$ ambo i membri ed otteniamo così $a^-1ax=a^-1b => 1*x=a^(-1)b$
ma è sempre lecito tutto questo? no. Prendiamo $2x=4$ in $ZZ$
va bene dire che moltiplico ambo i membri per l'inverso di due? No. Perché $ZZ$ non è un campo.
tuttavia, in realtà ciò che ci permette di risolvere quell'equazione è che $ZZ$ è un dominio d'integrità e che due è cancellabile.
e quindi si ha che $2x=2*2=> x=2$ , anche se effettivamente, sin da piccoli, sappiamo che risolvere quell'equazione significa dividere ambo i membri per due. Ma ciò , si può fare perché si può definire su $ZZ$ la divisibilità , essendo $ZZ$ un anello commutativo unitario. Tuttavia, "il dividere", la "divisione" , non la si può introdurre sempre.
Il primo esempio lampante è quello delle matrici, il motivo sta nel fatto che il prodotto non è commutativo e quindi l'anello delle matrici non può essere munito di divisione.
Allora cosa significa la scrittura $A^(-1)Ax=B$? semplicemente che affinché quel sistema sia risolubile, deve avvenire che $A$ deve possedere un'inversa sinistra. E in particolare la matrice deve essere tale che deve avere egual numero di righe e di colonne (altrimenti non si potrebbe definire il determinante di $A$)
Quando avviene?
Beh, se $A$ la pensiamo in un generico campo $K$ , ci basta dire che $detA!=0$ , altrimenti se pensiamo i coefficienti di $A$ in un generico anello, allora la condizione necessaria e sufficiente affinché $A$ sia invertibile è che sia invertibile il suo determinante.
Dunque, alla fin fine, non dividiamo nessuna matrice per un altra, ma moltiplichiamo semplicemente $A$ per la sua inversa, ottenendo una soluzione del tipo $X=A^(-1)B$.
Spero di non aver detto tante fesserie,ciao sergio!
Il fatto che è in realtà quando si risolve un'equazione del tipo $ax=b$ (supponiamo di volerla risolvere in un certo campo $K$.
noi moltiplichiamo $a^(-1)$ ambo i membri ed otteniamo così $a^-1ax=a^-1b => 1*x=a^(-1)b$
ma è sempre lecito tutto questo? no. Prendiamo $2x=4$ in $ZZ$
va bene dire che moltiplico ambo i membri per l'inverso di due? No. Perché $ZZ$ non è un campo.
tuttavia, in realtà ciò che ci permette di risolvere quell'equazione è che $ZZ$ è un dominio d'integrità e che due è cancellabile.
e quindi si ha che $2x=2*2=> x=2$ , anche se effettivamente, sin da piccoli, sappiamo che risolvere quell'equazione significa dividere ambo i membri per due. Ma ciò , si può fare perché si può definire su $ZZ$ la divisibilità , essendo $ZZ$ un anello commutativo unitario. Tuttavia, "il dividere", la "divisione" , non la si può introdurre sempre.
Il primo esempio lampante è quello delle matrici, il motivo sta nel fatto che il prodotto non è commutativo e quindi l'anello delle matrici non può essere munito di divisione.
Allora cosa significa la scrittura $A^(-1)Ax=B$? semplicemente che affinché quel sistema sia risolubile, deve avvenire che $A$ deve possedere un'inversa sinistra. E in particolare la matrice deve essere tale che deve avere egual numero di righe e di colonne (altrimenti non si potrebbe definire il determinante di $A$)
Quando avviene?
Beh, se $A$ la pensiamo in un generico campo $K$ , ci basta dire che $detA!=0$ , altrimenti se pensiamo i coefficienti di $A$ in un generico anello, allora la condizione necessaria e sufficiente affinché $A$ sia invertibile è che sia invertibile il suo determinante.
Dunque, alla fin fine, non dividiamo nessuna matrice per un altra, ma moltiplichiamo semplicemente $A$ per la sua inversa, ottenendo una soluzione del tipo $X=A^(-1)B$.
Spero di non aver detto tante fesserie,ciao sergio!
Risposte
cerco di stringere allora.
Senza introdurre gli anelli, almeno intuitivamente , non ce la faccio.
per chi non ne ha mai sentito parlare...
diciamo che un'anello è una terna del tipo $(A,+,*)$ dove $A$ è un insieme non vuoto, e $+,*$ sono due operazioni binarie . Tali che $+$ deve essere commutativa, munita di un elemento neutro, ogni $x in A$ deve avere un $-x$ e $+$ deve essere associativa.
Per via assiomatica :
e $*$ è associativa e distributiva rispetto a $+$
esempi :
Ora, se $A$ è commutativo, possiamo introdurre una particolare nozione, quella di divisibilità.
Divisibilità
Sia $A$ un anello commutativo.
Siano $a,b in A$ si dice che $b|a$ e si legge $b$ divide $a$ $<=> EE q in A : a=bq$.
Consideriamo ora per un attimo l'anello $M_n(K)$ che conosciamo tutti
[spoiler] per intenderci,è l'insieme delle matrici di ordine $n$ a coefficienti in un campo munito dell'operazione di somma e prodotto tra matrici[spoiler]
in generale , il prodotto tra matrici non è commutativo e quindi $M_n(K)$ non è un anello commutativo. Pertanto, non posso parlare di divisibilità tra due elementi di $M_n(K)$ proprio perché una delle ipotesi centrali su cui si definisce la divisibilità viene a mancare.
Tuttavia, molte matrici di $M_n(K)$ sono invertibili.
se $K$ è un campo, sono tutte le $A in M_n(K) : det(A) !=0$
e quindi $AA A in M_n(K) $ tale che vale la $1$ , $EE A^(-1) in M_n(K) : A^(-1)*A=A*A^(-1)=Id$
ed è precisamente questo il motivo per cui, possiamo ,con le ipotesi sopracitate,
risolvere un'equazione matriciale del tipo $Ax=B$ (1) ove $A,X,B$ sono matrici.
Cioè il fatto che si giunge a una soluzione sta nel fatto che 1) esiste la matrice inversa (con le ipotesi che il det sia non nullo)
e il fatto che il prodotto tra matrici è chiuso .
Quindi la $X$ che trovo, alla fine , soddisfa (1).
spero di esser stato più chiaro.
ci tengo a precisare,che le mie sono considerazioni e pregherei qualcuno più esperto di smentirmi, qualora sia il caso.
Senza introdurre gli anelli, almeno intuitivamente , non ce la faccio.
per chi non ne ha mai sentito parlare...
diciamo che un'anello è una terna del tipo $(A,+,*)$ dove $A$ è un insieme non vuoto, e $+,*$ sono due operazioni binarie . Tali che $+$ deve essere commutativa, munita di un elemento neutro, ogni $x in A$ deve avere un $-x$ e $+$ deve essere associativa.
Per via assiomatica :
(so che odi li spoiler, ma è per accorciare il brodo..
e $*$ è associativa e distributiva rispetto a $+$
esempi :
Ora, se $A$ è commutativo, possiamo introdurre una particolare nozione, quella di divisibilità.
Divisibilità
Sia $A$ un anello commutativo.
Siano $a,b in A$ si dice che $b|a$ e si legge $b$ divide $a$ $<=> EE q in A : a=bq$.
Consideriamo ora per un attimo l'anello $M_n(K)$ che conosciamo tutti
[spoiler] per intenderci,è l'insieme delle matrici di ordine $n$ a coefficienti in un campo munito dell'operazione di somma e prodotto tra matrici[spoiler]
in generale , il prodotto tra matrici non è commutativo e quindi $M_n(K)$ non è un anello commutativo. Pertanto, non posso parlare di divisibilità tra due elementi di $M_n(K)$ proprio perché una delle ipotesi centrali su cui si definisce la divisibilità viene a mancare.
Tuttavia, molte matrici di $M_n(K)$ sono invertibili.
se $K$ è un campo, sono tutte le $A in M_n(K) : det(A) !=0$
e quindi $AA A in M_n(K) $ tale che vale la $1$ , $EE A^(-1) in M_n(K) : A^(-1)*A=A*A^(-1)=Id$
ed è precisamente questo il motivo per cui, possiamo ,con le ipotesi sopracitate,
risolvere un'equazione matriciale del tipo $Ax=B$ (1) ove $A,X,B$ sono matrici.
Cioè il fatto che si giunge a una soluzione sta nel fatto che 1) esiste la matrice inversa (con le ipotesi che il det sia non nullo)
e il fatto che il prodotto tra matrici è chiuso .
Quindi la $X$ che trovo, alla fine , soddisfa (1).
spero di esser stato più chiaro.
ci tengo a precisare,che le mie sono considerazioni e pregherei qualcuno più esperto di smentirmi, qualora sia il caso.
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