Questione sulla somma diretta di sottospazi
Ho bisogno di chiarirmi un concetto, per capire come mai non riesco a completare un esercizio.
La somma diretta di due sottospazi di uno spazio, detto in parole povere, e' la somma tra due sottospazi che non hanno niente in comune se non lo spazio di appartenenza e l'insieme vuoto, giusto? Se ad esempio lavorassi su uno spazio a due dimensioni, rappresentabile come il piano cartesiano, la somma diretta di due sottospazi potrebbe essere la somma di due quadrati non sovrapposti disegnati sul piano, giusto? (Edit: non sovrapposti e che non si tocchino!)
Se quindi un esercizio mi chiede di ottenere $RR2$ da una somma diretta $V \oplus W$ dandomi la definizione del sottospazio $V$, devo trovare il sottospazio $W$ che copra tutti i valori di $R2$ non facenti parte di $V$. E' tutto questo sostanzialmente corretto?
Se quindi un altro esercizio mi chiede di ottenere $R4 = V \oplus W \oplus Z$, con $V = { (29/19x4 - 27/19x3), (1/19x3 - 6/19x4), x3, x4}$, cosa posso dire? Su due piedi mi vien da dire che dato che siamo in $RR4$, sicuramente $W$ e $Z$ avranno forma ${ qualcosa, qualcosa, 0,0}$. Ma sbaglio a pensare che in realta' $V$ possa da solo descrivere tutto $RR4$ ?
La somma diretta di due sottospazi di uno spazio, detto in parole povere, e' la somma tra due sottospazi che non hanno niente in comune se non lo spazio di appartenenza e l'insieme vuoto, giusto? Se ad esempio lavorassi su uno spazio a due dimensioni, rappresentabile come il piano cartesiano, la somma diretta di due sottospazi potrebbe essere la somma di due quadrati non sovrapposti disegnati sul piano, giusto? (Edit: non sovrapposti e che non si tocchino!)
Se quindi un esercizio mi chiede di ottenere $RR2$ da una somma diretta $V \oplus W$ dandomi la definizione del sottospazio $V$, devo trovare il sottospazio $W$ che copra tutti i valori di $R2$ non facenti parte di $V$. E' tutto questo sostanzialmente corretto?
Se quindi un altro esercizio mi chiede di ottenere $R4 = V \oplus W \oplus Z$, con $V = { (29/19x4 - 27/19x3), (1/19x3 - 6/19x4), x3, x4}$, cosa posso dire? Su due piedi mi vien da dire che dato che siamo in $RR4$, sicuramente $W$ e $Z$ avranno forma ${ qualcosa, qualcosa, 0,0}$. Ma sbaglio a pensare che in realta' $V$ possa da solo descrivere tutto $RR4$ ?
Risposte
Stavo pensando all'idea del quadrato e dei piani... Penso non sia corretta.
Sarebbe molto più semplice poterla disegnare... Comunque considera la base canonica di $RR^2$ essa è formata dai vettori $(1,0),(0,1)$ un generico vettore è quindi $(1,1)$, descriverebbe quindi un quadrato di lato $1$. Ma poichè siamo in uno spazio vettoriale devi ricordarti che un generico vettore è $(x,y)$ perciò esso descrive tutti i quadrati e tutti i rettangoli di lato variabile che si possono presentare... non vedo quindi come ci possano essere due quadrati disgiunti sul piano cartesiano di dimensione $2$.
Quando invece dici che assegnato uno spazio $V$ (ha dimensione $1$ vero?) devi "trovare" uno spazio con i valori che non sono descritti da $V$ dici una cosa corretta...
Quanto al secondo esercizio, non sbagli a dire ciò che dici, i vettori cercati saranno $(x,0,0,0)$ ed $(0,y,0,0)$ quindi basterà porre $U=<(x,0,0,0)>$ e $W=<(0,y,0,0)>$ con $x,y$ del tutto arbitrari per trovare due supplementari... mentre sbagli nell'affermare che lo spazio assegnato possa descrivere $RR^4$. C'è un teorema che afferma che ogni base di uno spazio $V$, per quanto arbitraria deve essere formata sempre dagli stessi vettori... assicurando così l'unicità della dimensione. Se tu osservi la dimensione di $V$ è $2$ e pertanto non potrà mai, da solo, descrivere tutto $RR^4$
Spero di esser stato utile!
Ciao
Sarebbe molto più semplice poterla disegnare... Comunque considera la base canonica di $RR^2$ essa è formata dai vettori $(1,0),(0,1)$ un generico vettore è quindi $(1,1)$, descriverebbe quindi un quadrato di lato $1$. Ma poichè siamo in uno spazio vettoriale devi ricordarti che un generico vettore è $(x,y)$ perciò esso descrive tutti i quadrati e tutti i rettangoli di lato variabile che si possono presentare... non vedo quindi come ci possano essere due quadrati disgiunti sul piano cartesiano di dimensione $2$.
Quando invece dici che assegnato uno spazio $V$ (ha dimensione $1$ vero?) devi "trovare" uno spazio con i valori che non sono descritti da $V$ dici una cosa corretta...
Quanto al secondo esercizio, non sbagli a dire ciò che dici, i vettori cercati saranno $(x,0,0,0)$ ed $(0,y,0,0)$ quindi basterà porre $U=<(x,0,0,0)>$ e $W=<(0,y,0,0)>$ con $x,y$ del tutto arbitrari per trovare due supplementari... mentre sbagli nell'affermare che lo spazio assegnato possa descrivere $RR^4$. C'è un teorema che afferma che ogni base di uno spazio $V$, per quanto arbitraria deve essere formata sempre dagli stessi vettori... assicurando così l'unicità della dimensione. Se tu osservi la dimensione di $V$ è $2$ e pertanto non potrà mai, da solo, descrivere tutto $RR^4$
Spero di esser stato utile!
Ciao
Giusto, la natura stessa degli spazi vettoriali rende impossibile la spiegazione che ho dato inizialmente. Sarebbe piu' sensato dire che se avessi, sempre su piano cartesiano, un sottospazio comprendente qualsiasi vettore con $x>=0$, ci sarebbe somma diretta tra tale sottospazio ed il sottospazio con tutte le $x<0$ ? Sto cercando un modo piu'... "facile da immaginare", perche' se passiamo a piu' di 3 dimensioni non riesco piu' a comprendere bene il significato dei concetti.
Tralasciando la semantica... no, giusto: mi scordo delle semplici riprove con cui smentire o confermare le mie tesi: dimensione 2, non rappresenta tutto $RR4$. Resta che l'elemento non nullo di $Z$ e quello di $W$ dovranno dipendere da $x3$ ed $x4$, secondo la regola $z1+z2+z3+z4 = w1+w2+w3+w4 = 29/19x4 - 27/19x3 + 1/19x3-16/19x4+x3+x4$, ponendo arbitrariamente, ad esempio, $w2 = 0$ e $z1=0$.
Tutto corretto fin qui? Dovrebbe concludersi l'esercizio con $w1 = 32/19x4$ e $z2=45/19x3$.
Tralasciando la semantica... no, giusto: mi scordo delle semplici riprove con cui smentire o confermare le mie tesi: dimensione 2, non rappresenta tutto $RR4$. Resta che l'elemento non nullo di $Z$ e quello di $W$ dovranno dipendere da $x3$ ed $x4$, secondo la regola $z1+z2+z3+z4 = w1+w2+w3+w4 = 29/19x4 - 27/19x3 + 1/19x3-16/19x4+x3+x4$, ponendo arbitrariamente, ad esempio, $w2 = 0$ e $z1=0$.
Tutto corretto fin qui? Dovrebbe concludersi l'esercizio con $w1 = 32/19x4$ e $z2=45/19x3$.
Non ho controllato, mi sembra un metodo troppo contoso...
Suggerimento... Completa $V$ ad una base di $RR^4$, scegliendo opportunamente i vettori, proprio come afferma il teorema. Otterrai una nuova base di $RR^4$. Scegli i vettori diversi da quelli di $V$ ed hai ottenuto il tuo supplementare
Suggerimento... Completa $V$ ad una base di $RR^4$, scegliendo opportunamente i vettori, proprio come afferma il teorema. Otterrai una nuova base di $RR^4$. Scegli i vettori diversi da quelli di $V$ ed hai ottenuto il tuo supplementare
Domanda filosofica: "contoso" e' necessariamente male? E' tendenzialmente disprezzato un metodo contoso di ottenere un risultato?
Oltretutto credo di aver sbagliato i conti: se si tratta di somma diretta tra sottospazi, dovrebbe verificarsi che
$v1+w1+z1 = v2+w2+z2 = v3+w3+z3 = v4+w4+z4$ , no ?
E quindi, posto che qualcosa dovra' per forza essere $0$,
$v1+w1 = v2+z2 = v3 = v4$ , no ?
Provando nel modo che invece hai suggerito...
Se prendo banalmente, come base, quella canonica: $B={ (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}$, $V$ dovrebbe essere $V = (2/19, -5/19, 1,1)$. Oppure non ho capito come si completa un vettore con una base (cosa probabile). Fatto sta che a questo punto basta prendere due vettori con primo/secondo elemento non divisibili per il primo ed il secondo elemento di $V$ ? (Ma non siamo in $RR$ ?)
Oltretutto credo di aver sbagliato i conti: se si tratta di somma diretta tra sottospazi, dovrebbe verificarsi che
$v1+w1+z1 = v2+w2+z2 = v3+w3+z3 = v4+w4+z4$ , no ?
E quindi, posto che qualcosa dovra' per forza essere $0$,
$v1+w1 = v2+z2 = v3 = v4$ , no ?
Provando nel modo che invece hai suggerito...
Se prendo banalmente, come base, quella canonica: $B={ (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}$, $V$ dovrebbe essere $V = (2/19, -5/19, 1,1)$. Oppure non ho capito come si completa un vettore con una base (cosa probabile). Fatto sta che a questo punto basta prendere due vettori con primo/secondo elemento non divisibili per il primo ed il secondo elemento di $V$ ? (Ma non siamo in $RR$ ?)
Non volevo dire che fosse male.. ed i conti si devono fare! Solo che io penso che davanti ad un problema bisogni guardarlo per bene in faccia, prima di tuffarsi nei conti.
Ho riletto per bene il tuo post... non riesco a capire per bene com'è definito lo spazio $V$, me lo potresti postare meglio? $x_i$ cosa sono le componenti o i vettori della base canonica? Perchè non riesco ad estrarre una base...
Ho riletto per bene il tuo post... non riesco a capire per bene com'è definito lo spazio $V$, me lo potresti postare meglio? $x_i$ cosa sono le componenti o i vettori della base canonica? Perchè non riesco ad estrarre una base...
Se $x_i$ sono le componenti di un vettore, cosa probabile, allora il nostro spazio $V=<(29,-6,0,19),(-27,1,19,0)$, ottenuto moltiplicando per $19$ Poichè ha dimensione $2$ i nostri supplementari avranno dimensione $1$... Adesso basta osservare che se aggiungiamo $2$ vettori tali che i $4$ vettori risultino linearmente indipendenti abbiamo finito... I vettori più semplici da aggiungere, bada bene che potrebbero non essere unici, sono i vettori della base canonica di $RR^4$... allora scelgo in quella base, dei vettori che mi permettano ad occhio di verificare che sono linearmente indipendenti, per esempio, mettendo i vettori in una matrice, posso scegliere quei vettori che mi mostrino la matrice già a gradini... per esempio: $((29,-6,0,19),(-27,1,19,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))$... quindi i nostri spazi saranno $U=$ e $W=$
Questo non è sicuramente l'unico metodo... ma di certo, è il più veloce e pertanto, in questo contesto, efficace...
Ciao
PS Ti consiglio di andare a rivedere per bene il completamento ad una base, poichè è davvero importante...
Questo non è sicuramente l'unico metodo... ma di certo, è il più veloce e pertanto, in questo contesto, efficace...
Ciao
PS Ti consiglio di andare a rivedere per bene il completamento ad una base, poichè è davvero importante...
Nell'esercizio, viene specificato che V e' definito dal seguente sistema:
$2x1-3x2+3x3-4x4=0$
$3x1+5x2+4x3+3x4=0$
(non so mettere a sistema le due equazioni con LaTeX
)
A meno che non abbia clamorosamente errato nel ridurre la matrice risultante da quel sistema (ed a questo stadio, direi che e' ancora possibile), le soluzioni dovrebbero essere
$x1 = 29/19x4-27/19x3$
$x2 = 1/19x3 - 6 /19x4$
Da cui deriva $V=(29/19x4-27/19x3, 1/19x3 - 6 /19x4, x3, x4)$.
O ho commesso qualche errore?
$2x1-3x2+3x3-4x4=0$
$3x1+5x2+4x3+3x4=0$
(non so mettere a sistema le due equazioni con LaTeX
)A meno che non abbia clamorosamente errato nel ridurre la matrice risultante da quel sistema (ed a questo stadio, direi che e' ancora possibile), le soluzioni dovrebbero essere
$x1 = 29/19x4-27/19x3$
$x2 = 1/19x3 - 6 /19x4$
Da cui deriva $V=(29/19x4-27/19x3, 1/19x3 - 6 /19x4, x3, x4)$.
O ho commesso qualche errore?
I calcoli non li controllo, ma il procedimento mi pare corretto...
Rifacendo i calcoli, c'e' un errore...!
Il che porta il sottospazio ad essere descritto da:
$V=((11x4-27x3)/19, (x3-18x4)/19, x3, x4)$
Ma cambia abbastanza poco.
Quindi l'algoritmo con cui tiro fuori le basi e' semplicemente di prendere la base canonica, e con quella ottenere i vettori:
per $lambda(0,0,1,0)$
$((0 * 11 - lambda * 27) / 19, (lambda - 0*18)/19, lambda, 0)$
per $lambda(0,0,0,1)$
$((lambda * 11 - 0 * 27) / 19, (0 - lambda*18)/19, 0, lambda)$
Ed in entrambi i casi, la cosa piu' efficiente da fare e' porre $lambda = 19$.
Conseguentemente:
$((-27, 1, 19, 0),(11, -18, 0, 19),(1,0,0,0),(0,1,0,0))$ rappresenta la matrice da cui posso prendere le equazioni che descrivono $W$ e $Z$ ? Le prime due rappresentano $V$, in quanto ha dimensione 2, gli altri due vettori hanno dimensione 1 e si prendono un'equazione ciascuno.
Quindi... verificando se sto ragionando bene: potrei anche riscrivere $V$ come sistema tra
$-27x1+1x2+19x3+0x4=0$
$11x1-18x2+0x3+19x4=0$
la cui somma diretta con $W=x1$ & $Z=x2$ descrive $RR4$. Giusto?
EDIT: ho svolto altri ragionamenti sulla base di quel che mi hai spiegato.
PS. grazie per la pazienza mostrata finora
Il che porta il sottospazio ad essere descritto da:
$V=((11x4-27x3)/19, (x3-18x4)/19, x3, x4)$
Ma cambia abbastanza poco.
Quindi l'algoritmo con cui tiro fuori le basi e' semplicemente di prendere la base canonica, e con quella ottenere i vettori:
per $lambda(0,0,1,0)$
$((0 * 11 - lambda * 27) / 19, (lambda - 0*18)/19, lambda, 0)$
per $lambda(0,0,0,1)$
$((lambda * 11 - 0 * 27) / 19, (0 - lambda*18)/19, 0, lambda)$
Ed in entrambi i casi, la cosa piu' efficiente da fare e' porre $lambda = 19$.
Conseguentemente:
$((-27, 1, 19, 0),(11, -18, 0, 19),(1,0,0,0),(0,1,0,0))$ rappresenta la matrice da cui posso prendere le equazioni che descrivono $W$ e $Z$ ? Le prime due rappresentano $V$, in quanto ha dimensione 2, gli altri due vettori hanno dimensione 1 e si prendono un'equazione ciascuno.
Quindi... verificando se sto ragionando bene: potrei anche riscrivere $V$ come sistema tra
$-27x1+1x2+19x3+0x4=0$
$11x1-18x2+0x3+19x4=0$
la cui somma diretta con $W=x1$ & $Z=x2$ descrive $RR4$. Giusto?
EDIT: ho svolto altri ragionamenti sulla base di quel che mi hai spiegato.
PS. grazie per la pazienza mostrata finora
Mmm c'è qualche errore in ciò che scrivi...
Tu hai una base di $V$, io non ho fatto altro che trovare la base e moltiplicarla per $19$ soltanto per avere i vettori in una forma più agevole... Questo non c'entra con l'esercizio in sè, nè altera le equazioni di $V$...
Per capire come ho completato la base di $V$ ad una base di $W$ ti consiglio di rileggerti il teorema... e tutto ti verrà chiaro!
La somma diretta dei $3$ spazi è $RR^4$...
Di niente, è un piacere!
Tu hai una base di $V$, io non ho fatto altro che trovare la base e moltiplicarla per $19$ soltanto per avere i vettori in una forma più agevole... Questo non c'entra con l'esercizio in sè, nè altera le equazioni di $V$...
Per capire come ho completato la base di $V$ ad una base di $W$ ti consiglio di rileggerti il teorema... e tutto ti verrà chiaro!
La somma diretta dei $3$ spazi è $RR^4$...
Di niente, è un piacere!
Non altera le equazioni, pero' non posso comunque scrivere $V$ con equazioni differenti a seconda della base che scelgo di utilizzare?
EDIT: sto guardando il cambio di base
Inoltre, ho fatto dei conti: Non so di preciso cosa io abbia sbagliato nello scrivere le "nuove" equazioni di $V$, pero' a meta' c'ho preso: nel risolvere mi si invertono $x3$ ed $x4$, e due segni. Se ho ben colto la logica che sta dietro al cambio di base, il nuovo modo di scrivere le equazioni di $V$, se corrette (!!), dovrebbero dare le stesse soluzioni.
EDIT: sto guardando il cambio di base
Inoltre, ho fatto dei conti: Non so di preciso cosa io abbia sbagliato nello scrivere le "nuove" equazioni di $V$, pero' a meta' c'ho preso: nel risolvere mi si invertono $x3$ ed $x4$, e due segni. Se ho ben colto la logica che sta dietro al cambio di base, il nuovo modo di scrivere le equazioni di $V$, se corrette (!!), dovrebbero dare le stesse soluzioni.
ma a noi non serve cambiare base di $V$... Quella è e rimane fissata. Dobbiamo cercare di completarla ad una base di $RR^4$ per trovare dei supplementari!
Il concetto è molto semplice, proverò a spiegarlo meglio, sperando di essere più chiaro.
Dobbiamo trovare $2$ vettori che uniti ai vettori di $V$ siano linearmente indipendenti, tanto basterà a descrivere tutto $RR^4$, poichè si prova, che ogni base di $RR^4$ possiede $4$ vettori linearmente indipendenti.
In realtà ciò che dovremmo fare è aggiungere dei vettori linearmente indipendenti a $V$, ma poiché questo potrebbe essere lungo e non sempre semplice da individuare, si opera in un altro modo. Consideriamo una base di $RR^4$, per comodità la base canonica, e sostituiamo uno alla volta i vettori di $V$. L'insieme che otterremo sarà una nuova base di $RR^4$ - non di $V$-!
Quindi selezionando dalla base i due vettori diversi dai vettori di $V$ otterremo i nostri supplementari.
Credo che la confusione sulle equazioni - che non c'entrano assolutamente nulla per risolvere l'esercizio- sia iniziata quando ho riscritto i vettori di base togliendo le frazioni. In realtà è una cosa molto semplice anche questa. Poichè siamo in uno spazio vettoriale, possiamo moltiplicare per uno scalare qualsiasi del campo e saremo sicuri che il nuovo vettore vi appartiene. La stessa cosa avviene per le basi. Uno spazio generato dal vettore $(1,0)$ è esattamente lo stesso spazio generato dal vettore $(39,0)$ o $(1000,0)$ e così via... Pertanto scegliere un vettore piuttosto che un altro, in questo caso, è pura comodità.
Spero di essere stato più chiaro, altrimenti chiedi pure!
Il concetto è molto semplice, proverò a spiegarlo meglio, sperando di essere più chiaro.
Dobbiamo trovare $2$ vettori che uniti ai vettori di $V$ siano linearmente indipendenti, tanto basterà a descrivere tutto $RR^4$, poichè si prova, che ogni base di $RR^4$ possiede $4$ vettori linearmente indipendenti.
In realtà ciò che dovremmo fare è aggiungere dei vettori linearmente indipendenti a $V$, ma poiché questo potrebbe essere lungo e non sempre semplice da individuare, si opera in un altro modo. Consideriamo una base di $RR^4$, per comodità la base canonica, e sostituiamo uno alla volta i vettori di $V$. L'insieme che otterremo sarà una nuova base di $RR^4$ - non di $V$-!
Quindi selezionando dalla base i due vettori diversi dai vettori di $V$ otterremo i nostri supplementari.
Credo che la confusione sulle equazioni - che non c'entrano assolutamente nulla per risolvere l'esercizio- sia iniziata quando ho riscritto i vettori di base togliendo le frazioni. In realtà è una cosa molto semplice anche questa. Poichè siamo in uno spazio vettoriale, possiamo moltiplicare per uno scalare qualsiasi del campo e saremo sicuri che il nuovo vettore vi appartiene. La stessa cosa avviene per le basi. Uno spazio generato dal vettore $(1,0)$ è esattamente lo stesso spazio generato dal vettore $(39,0)$ o $(1000,0)$ e così via... Pertanto scegliere un vettore piuttosto che un altro, in questo caso, è pura comodità.
Spero di essere stato più chiaro, altrimenti chiedi pure!
Colpa mia che mi sono espresso male. Stavo solo cercando riprove: se $RR4$ e' descritto da quelle equazioni, quelle riguardanti $V$ dovranno dare le stesse soluzioni che mi danno le due equazioni con cui sono partito. In realta' sono riuscito a sbagliare qualche conto anche li', ma in sostanza vedo che il ragionamento torna.
Si, e' un passaggio totalmente inutile ai fini della risoluzione dell'esercizio, ma lo ritenevo utile ai fini della comprensione
Si, e' un passaggio totalmente inutile ai fini della risoluzione dell'esercizio, ma lo ritenevo utile ai fini della comprensione
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