Questione di angoli!

[fransis2]

non so se è la sezione giusta comunque... volevo chiedervi se riuscite a risolvere questo problema: rispetto ad un piano 1 segmento OP, che non giace nel piano, ha l' estremo O nel piano e forma un angolo minimo x rispetto al piano. Consideriamo un segmento OQ giacente nel piano tale che l'angolo tra OP e OQ è proprio x. Sia OR un altro segmento giacente nel piano che forma un angolo y rispetto a OQ. Voglio sapere l'angolo tra OR e OP (spero sia chiaro il problema..)

[eleonora-89]

non vorrei dirti una cavolata ma se il segmento OR giace nello stesso piano di OQ io credo che l'angolo che l'angolo sia sempre x analiticamente forse andrebbe fatto con dei vettori equipollenti però credo che magari ti basterebbe visualizzarlo

[ViciousGoblin]

Si dovrebbe poter fate cosi':

1) Nota che il piano per $O$ $P$ $Q$ e' ortogonale al piano per $O$ $R$ $Q$
2) Prendi $P'$ sulla semiretta individuata da $O$ e $P$ tale che $|OQ|=|OP'|\cos(x)$, allora il triangolo $OP'Q$ e' rettangolo;
ne segue che $|QP'|^2=|OP'|^2-|OQ|^2=|OQ|^2(1/{\cos^2(x)}-1)$

3) Prendi $R'$ sulla semiretta individuata da $O$ e $R$ tale che $|OQ|=|OR'|\cos(y)$, allora il triangolo $OR'Q$ e' rettangolo
ne segue che $|QR'|^2=|OR'|^2-|OQ|^2=|OQ|^2(1/{\cos^2(y)}-1)$
4) Per 1) il triangolo $QP'R'$ e' rettangolo e quindi $|P'R'|^2=|QP'|^2+|QR'|^2=|OQ|^2(1/{\cos^2(x)}+1/{\cos^2(y)}-2)$
5) Usando Carnot e indicando con $z$ l'angolo tra $OP$ e $OR$, cioe' l'angolo tra $OP'$ e $OR'$, si ha
$|P'R'|^2=|OP'|^2+|OR'|^2-2|OP'||OR'|\cos(z) $ cioe'
$|OQ|^2(1/{\cos^2(x)}+1/{\cos^2(y)}-2)=|OQ|^2/{\cos^2(x)}+|OQ|^2/{\cos^2(y)}-2|OQ|^2/{\cos(x)\cos(y)}\cos(z)$ da cui infine
$ cos(z)=cos(x)cos(y)$

Sperando di non aver fatto errori

[Sk_Anonymous]

Mi domando come sia possibile che l'angolo POQ possa essere anch'esso uguale ad x dal momento che x è l'angolo minimo,
ovvero l'angolo POP' essendo P' la proiezione ortogonale di P sul piano.
Marco

[ViciousGoblin]

Mi domando come sia possibile che l'angolo POQ possa essere anch'esso uguale ad x

Da dove risulterebbe che l'angolo $POQ$ sia eguale a $x$ ?

Dalla relazione $\cos(z)=\cos(x)\cos(y)$ si vede che $z$ è maggiore di $x$ e coincide con $x$ se e solo se
$x=\pi/2$ (qualunque sia $y$) oppure $x=y=0$ (do per scontato che tutti gli angoli sono tra $0$ e $pi/2$).

[Sk_Anonymous]

E' nella traccia:
"Consideriamo un segmento OQ giacente nel piano tale che l'angolo tra OP e OQ è proprio x."
Forse interpreto male io.
Marco

[ViciousGoblin]

Per come l'ho capita io $x$ e' l'angolo che $OP$ forma con il piano e la semiretta per $OQ$ e'
quella semiretta del piano che "realizza" tale angolo. Si potrebba anche dire:
siano $O$ nel piano, $P$ fuori dal piano e sia $Q$ nel piano tale che l'angolo (indicato con $x$)
tra $OQ$ e $OP$ sia il minimo possibile al variare di $Q$ nel piano.
...

[fransis2]

"ViciousGoblinEnters":Per come l'ho capita io $x$ e' l'angolo che $OP$ forma con il piano e la semiretta per $OQ$ e'
quella semiretta del piano che "realizza" tale angolo. Si potrebba anche dire:
siano $O$ nel piano, $P$ fuori dal piano e sia $Q$ nel piano tale che l'angolo (indicato con $x$)
tra $OQ$ e $OP$ sia il minimo possibile al variare di $Q$ nel piano.
...

è proprio come dici tu, non riuscivo a esprimermi a parole... vicious, detto così il problema non sembrava neanche tanto difficile ma io non ci avevo pensato; grazie, sei un genio...

[ViciousGoblin]

Caro fransis2,
ti ringrazio per i complimenti che sono pero' eccessivi. E' vero che "esprimere il problema" nella maniera
giusta è già un bel pezzo della soluzione. Ciao