Questione di algebra tensoriale

[Sk_Anonymous]

sia $R$ un tensore ortogonale tale che $det[R]=1$, ovvero $R in Rot$: R ha un autovalore $lambda=1

allora preso il versore $bare$ associato all'autovalore $lambda$ si ha $R bare=bare

possiamo completare $bare$ a formare una base ortogonale e poi normalizzare

supponiamo tale base sia $(bare,barf,barg)$ si ha cioè $bare xx bar(f) *bar(g)=1

Vogliamo studiare come $R$ trasforma i versori della base:

$Rbar(f)*Rbare=bar(f) bar(e)=0=Rbar(f)*bare => Rbar(f) in span{barf,barg}$ cioè $Rbar(f)$ non ha componenti lungo $bare$, appartiene al piano ortogonale ad $bare$ generato da $bar(f),bar(g)$

me se io scrivo

$Rbar(f)*Rbar(g)=bar(f) bar(g)=0=Rbar(f)*bar(g) => Rbar(f) in span{bare,barf}$ cioè $Rbar(f)$ non ha componenti lungo $barg$

questo implica che $Rbar(f)=kbar(f)$, $k in RR$ cioè una affermazione falsa
E allora dove sta l'inghippo? Cioè io devo dimostrare che $R$ fa ruotare $barf$ di un angolo $phi$ cioè che nella base canonica $bar(f)=[(0),(cosphi),(sinphi)]

[Sk_Anonymous]

posto lo schema che ho fatto così forse si capisce un po' meglio:

[Sk_Anonymous]

"NOKKIAN80":

me se io scrivo

$Rbar(f)*Rbar(g)=bar(f) bar(g)=0=Rbar(f)*bar(g) => Rbar(f) in span{bare,barf}$ cioè $Rbar(f)$ non ha componenti lungo $barg$

questo implica che $Rbar(f)=kbar(f)$, $k in RR$ cioè una affermazione falsa
E allora dove sta l'inghippo? Cioè io devo dimostrare che $R$ fa ruotare $barf$ di un angolo $phi$ cioè che nella base canonica $bar(f)=[(0),(cosphi),(sinphi)]

ah-- ci sono arrivato
si arriva a una falsa tesi perchè non è vera la relazione

$Rbar(f)*Rbar(g)=Rbar(f)*bar(g)
infatti in generale non è detto che $barg$ sia autovettore con autovalore 1
anzi supponendo che g sia autovettore, la trasformazione non potrebbe certo ruotarlo.....

scusatemi, e grazie a tutti