Questi spazi topologici rispettano questa proprieta'?

[andreaciceri96]

Sia $(X, \tau)$ uno spazio topologico. Dimostrare che le seguenti proprieta' sono equivalenti:
(1) $\forall {C_n}_{n \in NN}$, collezione numerabile di chiusi tali che $\overset{\circ}{C_n}=\emptyset \forall n$, si ha $\overset{\circ}{(\bigcup C_n)}=\emptyset$.
(2) $\forall {A_n}_{n \in NN}$, collezione numerabile di aperti tali che $\bar{A_n}=X \forall n$, si ha $\bar{\bigcap{A_n}}=X$.

$QQ$ con la topologia euclidea soddisfa (1)? $NN$ con la topologia discreta soddisfa (1)?

Sono riuscito a mostrare l'equivalenza, i miei problemi sono con la seconda parte dell'esercizio.

Per quanto riguarda $NN$ credo che sia rispettata (2) (e quindi (1)) in quanto tutti i sottoinsiemi sono aperti e quindi un sottoinsieme $A_n \sub NN$ per essere denso (ossia $\bar{A_n}=NN$) deve essere proprio $A_n=NN$ visto che deve intersecare ogni aperto. Dunque l'unica collezione numerabile (se per numerabile si intende al piu' infinito numerabile) e' ${NN}$ che ovviamente rispetta la proprieta' richiesta.
Il dubbio e' quindi cosa si intende per collezione numerabile, se per caso si intendesse proprio collezione infinita numerabile la risposta giusta quale sarebbe? Non ci sarebbe nessuna collezione con quella proprieta' di cui verificare la chiusura dell'intersezione essere tutto lo spazio, quindi cosa dovrei concludere? Rispetta (2) perche' non ho collezioni da verificare o non rispetta (2) sempre per lo stesso motivo?

Per quanto riguarda $QQ$ con la topologia euclidea ho un problema analogo, ho mostrato (anche se di questo ne sono meno sicuro) che l'unico aperto denso e' $QQ$ stesso, e quindi mi ritrovo con lo stesso dubbio di prima.

Grazie mille a tutti.

[killing_buddha]

"zariski":l'unico aperto denso e' $QQ$ stesso

Se $A$ è aperto e non contiene $q\in QQ$, esiste tutto un intorno di $q$ che non interseca $A$, quindi $A$ non può essere denso, no?

[killing_buddha]

Non è legato alla nozione di spazio di Baire? https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Baire

[andreaciceri96]

Grazie mille, e comunque in effetti lo e'. Io ho solo vagamente sentito parlare di spazi di Baire (non fanno parte del programma del corso ma ne avevo letto qualcosa su un libro).

Comunque su Wikipedia ho trovato che $QQ$ con la usuale topologia non e' uno spazio di Baire in contraddizione a quanto abbiamo detto nei precedenti messaggi, dov'e' l'errore?