Questa cubica ha un flesso?

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Come esercizio devo studiare questa cubica

\( \sqrt3x^2+\sqrt3y^2-2x^3=0 \)

il cui grafico è

http://www.wolframalpha.com/input/?i=3^%281%2F2%29x^2%2B3^%281%2F2%29y^2-2x^3%3D0

A me risultano due flessi, applicando il metodo dettoci dal prof. Graficamente come è possibile? A me non pare che ci
siano flessi Precisamente i flessi sarebbero

\( (2\sqrt3/3, 2/3) \) e \( (2\sqrt3/3, -2/3) \)

Mi aiutate? Grazie

[j18eos]

Che metodo risolutivo usi?

[marthy_92]

Allora la cubica era in realtà data in forma parametrica, ovvero con equazioni

\( \begin{cases} x=[\sqrt3(1+t^2)]/2 \\ y=[\sqrt3t(1+t^2)]/2 \end{cases} \)

Successivamente l'ho trasformata nella forma cartesiana che ho scritto sopra. Però in questa forma
mi risultava difficile ricercare i flessi perchè risultava un hessiana abbastanza complicata.
Quindi ho utilizzato la forma parametrica e il metodo datoci dal prof.
Ho impostato l'equazione

\( x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)=0 \)

che ha come soluzioni \( t* = \pm 1/\sqrt3 \)

A questo punto se \( x'(t^*)y'''(t^*)-x'''(t^*)y'(t^*) \ne 0 \) , allora il punto \( (x(t^*),y(t^*)) \) è un flesso.
Effettivamente svolgendo i calcoli risultano quei punti, ma graficamente non me lo spiego proprio.

[j18eos]

Quella forma cartesiana è errata, prova: che accade per \(\displaystyle t=0\)?

[marthy_92]

j18eos ho controllato diverse volte la forma cartesiana.. perchè dici che è sbagliata? dove sta l'errore? :/

[j18eos]

Premesso che per forma cartesiana intendo l'equazione polinomiale che hai trovata, e premesso che suppongo che tu stia su \(\displaystyle\mathbb{R}\); per \(\displaystyle t=0\) trovi il punto \(\displaystyle\left(\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)\), invece, con quella equazione trovi anche il punto \(\displaystyle(0,0)\)... Quindi qualcosa è sbagliato!