Quesito teorico spazi metrici. Aiuto e dubbio.
Ciao a tutti mi sono imbattuta in questo esercizio che poi è anche un tema d'esame. L'ho svolto ma non sono sicura di aver risposto giusto, soprattutto ho un dubbio nella domanda b. Verificate se è corretto per favore. Grazie in anticipo.
Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) definita da \(\displaystyle f(t)=t+[t] \) e per \(\displaystyle x,y\in\mathbb{R} \) si ponga \(\displaystyle d(x,y)=|f(x)-f(y)| \)
Lo spazio metrico \(\displaystyle (\mathbb{R},d) \)
a. E' completo?
b. è esprimibile come unione numerabile di suoi sottoinsiemi compatti?
Ho risposto alle domande a e b così:
a.
Ho risposto FALSO e ora spiego il motivo.
ho \(\displaystyle f(x)=x+[x]; d(x,y)=|f(x)-f(y)| \), disegnando la retta reale ho dei buchi.
Inoltre
\(\displaystyle s_n=1-\frac{1}{n} \ \) È di Cauchy ma non converge
\(\displaystyle s_n\rightarrow1\) se \(\displaystyle \forall_\varepsilon,\exists n, t.c. \forall n> N, d(s_n,1)<\varepsilon \) ma
\(\displaystyle d(s_n,1)=|f(1-\frac{1}{n})-f(1)|=|1-\frac{1}{n}-2|=|1+\frac{1}{n}|>1 \)
b.
Pure qui ho risposto FALSO e ora spiego il motivo.
Per prima cosa NON è possibile perchè i sottoinsiemi compatti della copertura contengono numeri interi.
Infatti qui ho per esempio
\(\displaystyle \left[\frac{1}{2},0,9\right)\bigcup \left[1,\frac{3}{2}\right] \) assurdo..non c'è compatto
poi
\(\displaystyle f(1)=1+1=2 \) e \(\displaystyle f(0,9)=0,9+0=0,9 \)
Ditemi per favore se ho risposto bene ad entrambe.
Per favore e grazie in anticipo.
Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) definita da \(\displaystyle f(t)=t+[t] \) e per \(\displaystyle x,y\in\mathbb{R} \) si ponga \(\displaystyle d(x,y)=|f(x)-f(y)| \)
Lo spazio metrico \(\displaystyle (\mathbb{R},d) \)
a. E' completo?
b. è esprimibile come unione numerabile di suoi sottoinsiemi compatti?
Ho risposto alle domande a e b così:
a.
Ho risposto FALSO e ora spiego il motivo.
ho \(\displaystyle f(x)=x+[x]; d(x,y)=|f(x)-f(y)| \), disegnando la retta reale ho dei buchi.
Inoltre
\(\displaystyle s_n=1-\frac{1}{n} \ \) È di Cauchy ma non converge
\(\displaystyle s_n\rightarrow1\) se \(\displaystyle \forall_\varepsilon,\exists n, t.c. \forall n> N, d(s_n,1)<\varepsilon \) ma
\(\displaystyle d(s_n,1)=|f(1-\frac{1}{n})-f(1)|=|1-\frac{1}{n}-2|=|1+\frac{1}{n}|>1 \)
b.
Pure qui ho risposto FALSO e ora spiego il motivo.
Per prima cosa NON è possibile perchè i sottoinsiemi compatti della copertura contengono numeri interi.
Infatti qui ho per esempio
\(\displaystyle \left[\frac{1}{2},0,9\right)\bigcup \left[1,\frac{3}{2}\right] \) assurdo..non c'è compatto
poi
\(\displaystyle f(1)=1+1=2 \) e \(\displaystyle f(0,9)=0,9+0=0,9 \)
Ditemi per favore se ho risposto bene ad entrambe.
Per favore e grazie in anticipo.
Risposte
Temo che tu non abbia risposto bene a nessuna. Riparti dalla \(a\). Osserva che per \(x, y \ge 0\), si ha \(f(x)=2x, f(y)=2y\), per cui \(d(x, y)=2\lvert x-y\rvert\). Quindi essenzialmente hai ritrovato la "vecchia" distanza euclidea, a meno di un fattore \(2\), e in particolare una successione di numeri positivi è convergente risp. \(d\) se e solo se essa è convergente rispetto a \(\lvert \cdot \rvert\), ed è di Cauchy rispetto a \(d\) se e solo se essa è di Cauchy rispetto a \(\lvert \cdot \rvert\).
Comunque a me la traccia pare mal posta. In uno spazio metrico non dovrebbe essere \(d(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y\)? E però qua, per esempio, abbiamo \(d(-2, -1)=0\).
Comunque a me la traccia pare mal posta. In uno spazio metrico non dovrebbe essere \(d(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y\)? E però qua, per esempio, abbiamo \(d(-2, -1)=0\).
"dissonance":
Temo che tu non abbia risposto bene a nessuna. Riparti dalla \(a\). Osserva che per \(x, y \ge 0\), si ha \(f(x)=2x, f(y)=2y\), per cui \(d(x, y)=2\lvert x-y\rvert\). Quindi essenzialmente hai ritrovato la "vecchia" distanza euclidea, a meno di un fattore \(2\), e in particolare una successione di numeri positivi è convergente risp. \(d\) se e solo se essa è convergente rispetto a \(\lvert \cdot \rvert\), ed è di Cauchy rispetto a \(d\) se e solo se essa è di Cauchy rispetto a \(\lvert \cdot \rvert\).
Comunque a me la traccia pare mal posta. In uno spazio metrico non dovrebbe essere \(d(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y\)? E però qua, per esempio, abbiamo \(d(-2, -1)=0\).
Oddio io pensavo che ad almeno alla risposta a avevo risposto giusto, perchè ho fatto vedere che è di Cauchy, MA non converge!
E poi ho provato a disegnare alcuni numeri di quella funzione,, cioè\(\displaystyle f(t)=t+[t] \) su una retta reale e ho dei buchi. Spiegami meglio per favore per quale motivo dici che è tutto sbagliato
Comunque io ho ricopiato il testo così com'è, non ho apportato modifiche. Sì però nelle proprietà della metrica c'è che \(\displaystyle d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y\)
Uff, si si hai ragione, ho pasticciato io. Scusa, fai finta che non ti abbia detto niente, più tardi rivedo la traccia e ti rispondo di nuovo.
Scusami ancora, a dopo
Scusami ancora, a dopo
ok va bn!
Ho rivisto un po'. La conclusione del punto a) mi pare corretta, nel senso che \(s_n=1-1/n\) è di Cauchy risp. a \(d\) ma non è convergente. Tuttavia non ha senso la frase "la retta reale ha dei buchi" e ci sono problemi teorici nello svolgimento: tu hai dimostrato che \(s_n\) non converge ad \(1\), ma ti si può obiettare che \(s_n\) potrebbe convergere ad un altro numero reale. Devi dimostrare che ciò non può verificarsi.
Lo svolgimento della 2 invece non è proprio comprensibile, non penso ti possa essere preso per buono. Non saprei se la risposta giusta sia VERO o FALSO, ma questa è una mancanza mia che non ho svolto l'esercizio. Spiega meglio cosa hai pensato di fare.
Infine, sposto nella sezione di Geometria.
Lo svolgimento della 2 invece non è proprio comprensibile, non penso ti possa essere preso per buono. Non saprei se la risposta giusta sia VERO o FALSO, ma questa è una mancanza mia che non ho svolto l'esercizio. Spiega meglio cosa hai pensato di fare.
Infine, sposto nella sezione di Geometria.
"dissonance":
Ho rivisto un po'. La conclusione del punto a) mi pare corretta, nel senso che \(s_n=1-1/n\) è di Cauchy risp. a \(d\) ma non è convergente. Tuttavia non ha senso la frase "la retta reale ha dei buchi" e ci sono problemi teorici nello svolgimento: tu hai dimostrato che \(s_n\) non converge ad \(1\), ma ti si può obiettare che \(s_n\) potrebbe convergere ad un altro numero reale. Devi dimostrare che ciò non può verificarsi.
Lo svolgimento della 2 invece non è proprio comprensibile, non penso ti possa essere preso per buono. Non saprei se la risposta giusta sia VERO o FALSO, ma questa è una mancanza mia che non ho svolto l'esercizio. Spiega meglio cosa hai pensato di fare.
Infine, sposto nella sezione di Geometria.
Ah ok..per quanto riguarda di dimostrare che non vale solamente per il numero 1 ma non vale in generale, ci lavorerò su.
Invece per quanto riguarda il quesito b ho provato a farlo in quest'altro modo:
premetto disegnando si vede meglio quello che voglio dire, ma va bé proverò a spiegarlo
prendo \(\displaystyle [0,1] \) e disegno un altro intervallo che parte dall'interno, per esempio \(\displaystyle [\frac{1}{2},1+\varepsilon) \)
e dico che non è un chiuso, perchè \(\displaystyle 1\in \) alla frontiera se \(\displaystyle \forall, D(1,r) \) ci sono punti dentro e fuori ma dentro non ce ne sono!
\(\displaystyle x\in D(1,r) \) se
\(\displaystyle d(x,1)
No, ascolta, c'è un errore di fondo. Non riesco veramente a capire cosa stai facendo ma sono convinto che non sia la strada giusta. Mi pare che tu abbia le idee parecchio confuse, purtroppo, dovresti vedere meglio la teoria. Che cosa stai studiando? Mi puoi indicare il libro di testo?
Comunque, in questo spazio metrico \((\mathbb{R}, d)\), non è detto che "compatto" significhi "chiuso e limitato". Se sei convinta che il punto b) sia falso devi supporre, per assurdo, che \(\mathbb{R}\) si possa scrivere come unione numerabile \(\mathbb{R}=\cup_1^\infty K_n\), dove ogni \(K_n\) è compatto rispetto a \(d\), e vedere se arrivi ad una contraddizione. Non ragionare con gli intervalli, non mischiare la topologia usuale della retta con questa qui che è completamente diversa.
Comunque, in questo spazio metrico \((\mathbb{R}, d)\), non è detto che "compatto" significhi "chiuso e limitato". Se sei convinta che il punto b) sia falso devi supporre, per assurdo, che \(\mathbb{R}\) si possa scrivere come unione numerabile \(\mathbb{R}=\cup_1^\infty K_n\), dove ogni \(K_n\) è compatto rispetto a \(d\), e vedere se arrivi ad una contraddizione. Non ragionare con gli intervalli, non mischiare la topologia usuale della retta con questa qui che è completamente diversa.
Ho visto che questo stesso esercizio appare a questo indirizzo, su un altro forum di matematica:
http://math.stackexchange.com/q/131649/8157
Lo hai postato tu? Se si, sarebbe cortesia farlo presente anche qui.
http://math.stackexchange.com/q/131649/8157
Lo hai postato tu? Se si, sarebbe cortesia farlo presente anche qui.
"dissonance":
Ho visto che questo stesso esercizio appare a questo indirizzo, su un altro forum di matematica:
http://math.stackexchange.com/q/131649/8157
Lo hai postato tu? Se si, sarebbe cortesia farlo presente anche qui.
Ti dico che NON l'ho messo io perchè principalmente io NON so l'inglese!..infatti in università l'esame di inglese lo lascerò indietro e lo darò per ultimo!..
"dissonance":
No, ascolta, c'è un errore di fondo. Non riesco veramente a capire cosa stai facendo ma sono convinto che non sia la strada giusta. Mi pare che tu abbia le idee parecchio confuse, purtroppo, dovresti vedere meglio la teoria. Che cosa stai studiando? Mi puoi indicare il libro di testo?
Comunque, in questo spazio metrico \((\mathbb{R}, d)\), non è detto che "compatto" significhi "chiuso e limitato". Se sei convinta che il punto b) sia falso devi supporre, per assurdo, che \(\mathbb{R}\) si possa scrivere come unione numerabile \(\mathbb{R}=\cup_1^\infty K_n\), dove ogni \(K_n\) è compatto rispetto a \(d\), e vedere se arrivi ad una contraddizione. Non ragionare con gli intervalli, non mischiare la topologia usuale della retta con questa qui che è completamente diversa.
Per quanto riguarda questo.. bé ok se vuoi il libro di testo io uso quello adottato dalla mia università si chiama "P.M. Soardi, Analisi Matematica, II edizione, Città Studi 2010"
riguardo all'esercizio, tu mi dici che è sbagliato quello che faccio, quindi cosa mi consigli di fare?..non mi viene in mente..
Non era una accusa, è solo per ottimizzare il lavoro. Su quel forum stanno facendo un ottimo lavoro per rispondere alla domanda ed è interessante sfruttare le loro conclusioni. Vedi, per esempio anche loro hanno tirato in ballo \(s_n=1-1/n\) per concludere che lo spazio non è completo.
[OT]
MOLTO, MOLTO, MOLTO male. Questa è la cosa peggiore che tu possa fare. Impara subito l'inglese perché è una abilità fondamentale, immensamente più importante di tutto il resto dei tuoi studi universitari messi insieme. Chi non sa l'inglese oggi non sa niente e non ha la possibilità di imparare niente perché TUTTA la letteratura scientifica e tecnica è in inglese.
Se vuoi un consiglio datti URGENTEMENTE da fare per colmare questa drammatica lacuna. Ad esempio potresti iscriverti ad un corso, o anche fartelo da te: ci sono dei corsi in dvd, per esempio, molto ben fatti. Certo ci vuole molta forza di volontà per portare a termine da soli un corso in dvd, senza nessuno stimolo esterno, ma si può fare e i risultati possono essere molto buoni.
[/OT]
Tornando all'esercizio. E' tratto da questo libro di analisi? Hai avuto dei suggerimenti? Non è un esercizio proprio immediato, eh. Il punto b. ad esempio non è tanto banale. Sull'altro forum suggeriscono, e io sono d'accordo, di iniziare ad affrontarlo cercando di capire come sono fatti i sottoinsiemi compatti di \((\mathbb{R}, d)\). Prova a partire da questo suggerimento di B.Scott:
http://math.stackexchange.com/a/131657/8157
dimostra che i sottoinsiemi compatti di ogni intervallo \([n, n+1)\) sono esattamente gli stessi che abbiamo nella usuale metrica euclidea.
[OT]
"55sarah":
Ti dico che NON l'ho messo io perchè principalmente io NON so l'inglese!..infatti in università l'esame di inglese lo lascerò indietro e lo darò per ultimo!..
MOLTO, MOLTO, MOLTO male. Questa è la cosa peggiore che tu possa fare. Impara subito l'inglese perché è una abilità fondamentale, immensamente più importante di tutto il resto dei tuoi studi universitari messi insieme. Chi non sa l'inglese oggi non sa niente e non ha la possibilità di imparare niente perché TUTTA la letteratura scientifica e tecnica è in inglese.
Se vuoi un consiglio datti URGENTEMENTE da fare per colmare questa drammatica lacuna. Ad esempio potresti iscriverti ad un corso, o anche fartelo da te: ci sono dei corsi in dvd, per esempio, molto ben fatti. Certo ci vuole molta forza di volontà per portare a termine da soli un corso in dvd, senza nessuno stimolo esterno, ma si può fare e i risultati possono essere molto buoni.
[/OT]
Tornando all'esercizio. E' tratto da questo libro di analisi? Hai avuto dei suggerimenti? Non è un esercizio proprio immediato, eh. Il punto b. ad esempio non è tanto banale. Sull'altro forum suggeriscono, e io sono d'accordo, di iniziare ad affrontarlo cercando di capire come sono fatti i sottoinsiemi compatti di \((\mathbb{R}, d)\). Prova a partire da questo suggerimento di B.Scott:
http://math.stackexchange.com/a/131657/8157
dimostra che i sottoinsiemi compatti di ogni intervallo \([n, n+1)\) sono esattamente gli stessi che abbiamo nella usuale metrica euclidea.
"dissonance":[/quote]
Non era una accusa, è solo per ottimizzare il lavoro. Su quel forum stanno facendo un ottimo lavoro per rispondere alla domanda ed è interessante sfruttare le loro conclusioni. Vedi, per esempio anche loro hanno tirato in ballo \(s_n=1-1/n\) per concludere che lo spazio non è completo.
[OT]
[quote="55sarah"]
Tornando all'esercizio. E' tratto da questo libro di analisi? Hai avuto dei suggerimenti? Non è un esercizio proprio immediato, eh. Il punto b. ad esempio non è tanto banale. Sull'altro forum suggeriscono, e io sono d'accordo, di iniziare ad affrontarlo cercando di capire come sono fatti i sottoinsiemi compatti di \((\mathbb{R}, d)\). Prova a partire da questo suggerimento di B.Scott:
http://math.stackexchange.com/a/131657/8157
dimostra che i sottoinsiemi compatti di ogni intervallo \([n, n+1)\) sono esattamente gli stessi che abbiamo nella usuale metrica euclidea.
no questo esercizio è tratto da un tema d'esame di Analisi 1 del mio professore. È uno tosto il prof e sugli spazi metrici soprattutto la compattezza ha la fissa diciamo XD
il libro che scritto è il testo consigliato
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