Quasi proiezione di Riesz
Ciao a tutti.
Allora devo dimostrare il lemma di quasi-proiezione di Riesz ovvero che:
Sia $Y$ un sottospazio proprio chiuso di uno spazio normato $X$, allora $\forall \epsilon > 0$ $\exists x$ di norma unitaria tale per cui:
$ \text{dist}(x,Y)=\text{inf}_{y\in Y} || x - y || \geq 1 - \epsilon $
il brutto è che non riesco a reperire la dimostrazione "originale" e per di più ho fatto una "fanta-dimostrazione" nel senso che ho dimostrato il risultato molto facilmente, ma sono sicuro al 100% che la dimostrazione sia sbagliata (perchè il risultato è più forte di quello di Riesz) ma non riesco a trovare l'errore...
Allora sia $x\in X\setminus Y$ di norma unitaria. Consideriamo allora il sottospazio di $X$, chiuso:
$ Z = { \lambda x + y , y \in Y, \lambda \in RR } $
e il funzionale $\Lambda_0$ definito su $Z$ come:
$ \Lambda_0 ( \lambda x + y ) = \lambda $
si dimostra facilmente che $\Lambda_0$ ha norma 1. A questo punto estendo $\Lambda_0$ su $Y$ e affermo che $\Lambda x = 1$ essendo $\Lambda$ l'estensione di $\Lambda_0$. Abbiamo:
$ 1 = || x || = \Lambda x = \Lambda (x-y) \leq || \Lambda ||_{X'} || x - y || = || x - y || $
quindi dall'arbitrarietà di $y$ segue:
$ \text{inf}_{y \in Y}|| x - y || \geq 1 $
questo dovrebbe valere se $X$ Banach riflessivo secondo il mio libro... dove può essere l'errore?
Allego anche la dimostrazione del fatto che $||\Lambda_0||=1$ anche se questa dovrebbe essere giusta. Ovviamente:
$||\Lambda_0||\geq 1$
essendo $\Lambda_0 x = 1$. Ora premetto questa specie di "lemma":
$ \text{inf}_{y \in Y} ( || x - y || + || y || ) \leq \text{inf}_{y \in Y} ( || x || + 2 || y || ) = || x || $
da cui se $z\in Z$ con $z=\lambda x + q$ e $q \in Y$ e $||z||=1$:
$ 1 = || z || \geq \text{inf}_{y \in Y}( || \lambda x + q - y || + || y || ) $
$\qquad \qquad \qquad \geq \text{inf}_{y \in Y} (| || \lambda x || - || q - y || | + || y || )$
$\qquad \qquad \qquad \geq \text{inf}_{y \in Y}( || \lambda x || - || q - y || + || y || ) $
$\qquad \qquad \qquad \geq \text{inf}_{y \in Y} ( ||\lambda x || - || q - y || ) = |\lambda| $
se ora $z$ è un generico elemento di $Z$:
$ || \Lambda_0 ||_{Z'} = \text{sup}_{||z||=1} |\lambda| \leq 1 $
Allora devo dimostrare il lemma di quasi-proiezione di Riesz ovvero che:
Sia $Y$ un sottospazio proprio chiuso di uno spazio normato $X$, allora $\forall \epsilon > 0$ $\exists x$ di norma unitaria tale per cui:
$ \text{dist}(x,Y)=\text{inf}_{y\in Y} || x - y || \geq 1 - \epsilon $
il brutto è che non riesco a reperire la dimostrazione "originale" e per di più ho fatto una "fanta-dimostrazione" nel senso che ho dimostrato il risultato molto facilmente, ma sono sicuro al 100% che la dimostrazione sia sbagliata (perchè il risultato è più forte di quello di Riesz) ma non riesco a trovare l'errore...
Allora sia $x\in X\setminus Y$ di norma unitaria. Consideriamo allora il sottospazio di $X$, chiuso:
$ Z = { \lambda x + y , y \in Y, \lambda \in RR } $
e il funzionale $\Lambda_0$ definito su $Z$ come:
$ \Lambda_0 ( \lambda x + y ) = \lambda $
si dimostra facilmente che $\Lambda_0$ ha norma 1. A questo punto estendo $\Lambda_0$ su $Y$ e affermo che $\Lambda x = 1$ essendo $\Lambda$ l'estensione di $\Lambda_0$. Abbiamo:
$ 1 = || x || = \Lambda x = \Lambda (x-y) \leq || \Lambda ||_{X'} || x - y || = || x - y || $
quindi dall'arbitrarietà di $y$ segue:
$ \text{inf}_{y \in Y}|| x - y || \geq 1 $
questo dovrebbe valere se $X$ Banach riflessivo secondo il mio libro... dove può essere l'errore?
Allego anche la dimostrazione del fatto che $||\Lambda_0||=1$ anche se questa dovrebbe essere giusta. Ovviamente:
$||\Lambda_0||\geq 1$
essendo $\Lambda_0 x = 1$. Ora premetto questa specie di "lemma":
$ \text{inf}_{y \in Y} ( || x - y || + || y || ) \leq \text{inf}_{y \in Y} ( || x || + 2 || y || ) = || x || $
da cui se $z\in Z$ con $z=\lambda x + q$ e $q \in Y$ e $||z||=1$:
$ 1 = || z || \geq \text{inf}_{y \in Y}( || \lambda x + q - y || + || y || ) $
$\qquad \qquad \qquad \geq \text{inf}_{y \in Y} (| || \lambda x || - || q - y || | + || y || )$
$\qquad \qquad \qquad \geq \text{inf}_{y \in Y}( || \lambda x || - || q - y || + || y || ) $
$\qquad \qquad \qquad \geq \text{inf}_{y \in Y} ( ||\lambda x || - || q - y || ) = |\lambda| $
se ora $z$ è un generico elemento di $Z$:
$ || \Lambda_0 ||_{Z'} = \text{sup}_{||z||=1} |\lambda| \leq 1 $
Risposte
"david_e":
A questo punto estendo $\Lambda_0$ su $Y$
Domanda cretina: ma $\Lambda_0$ non è definita su $Z$, che contiene $Y={lambda x + y$ per $lambda =0}$?
L'ho esteso usando Hahn-Banach.
no, cioè volevo dire (mi sa che non ho capito bene però) che se $\Lambda_0$ è definita su Z che contiene Y, che senso ha estendere $\Lambda_0$ a Y?
"amel":
no, cioè volevo dire (mi sa che non ho capito bene però) che se $\Lambda_0$ è definita su Z che contiene Y, che senso ha estendere $\Lambda_0$ a Y?
Già hai ragione. Ho scritto male e letto con troppa fretta il tuo messaggio. Ovviamente l'estensione è da fare su $X$. A dire il vero penso che anche questa estensione sia inutile, basta lavorare con $\Lambda_0$...
Sì basta $\Lambda_0$, c'è una cosa però che non mi quadra (seconda domanda cretina 
):
$\Lambda_0$ è un funzionale lineare ok, ma è anche continuo?
):$\Lambda_0$ è un funzionale lineare ok, ma è anche continuo?
"amel":
Sì basta $\Lambda_0$, c'è una cosa però che non mi quadra (seconda domanda cretina
$\Lambda_0$ è un funzionale lineare ok, ma è anche continuo?
Grazie amel per le tue "domande cretine", che poi cretine non sono. Si $\Lambda_0$ è continuo visto che il kernel è chiuso non denso in $Z$.
By the way, sono riuscito a recuperare la dimostrazione originale... tuttavia ancora non capisco dove la mia sia sbagliata...
non ci capisco molto, ma a me non torna che la norma dell'operatore sia 1. sia k la norma dell'operatore:
$|\lambda|<=k||\lambda*x+y||$
rielaborando
$||x+y/(\lambda)||>=1/k$
ma l'espressione a sinistra ha come minimo $d(x,Y)$, e quindi $k=1/(d(x,Y))$... che è diverso da 1...
sicuramente sbaglio io... ma così almeno un errore si trova...
$|\lambda|<=k||\lambda*x+y||$
rielaborando
$||x+y/(\lambda)||>=1/k$
ma l'espressione a sinistra ha come minimo $d(x,Y)$, e quindi $k=1/(d(x,Y))$... che è diverso da 1...
sicuramente sbaglio io... ma così almeno un errore si trova
...
"Thomas":
ma l'espressione a sinistra ha come minimo $d(x,Y)$, e quindi $k=1/(d(x,Y))$... che è diverso da 1...
Grazie per la reply!
Forse sono fuso a quest'ora (si lo sò mi spengo presto io!
) ma non dovrebbe quindi essere $k\geq 1/(d(x,Y))$?
di niente!! ti "uso" per imparare (infatti ho cercato sulla rete l'enunciato di Hahn-Banach!!)...
quella che dici tu è una condizione su $k$ necessaria e sufficiente perchè valga la diseguaglianza finale... d'altra parte $k$ si può definire anche come il minimo numero per cui vale la disuguaglianza iniziale, e quindi $k=1/(d(x,Y))$... o no?
(infatti ho cercato sulla rete l'enunciato di Hahn-Banach!!)... quella che dici tu è una condizione su $k$ necessaria e sufficiente perchè valga la diseguaglianza finale... d'altra parte $k$ si può definire anche come il minimo numero per cui vale la disuguaglianza iniziale, e quindi $k=1/(d(x,Y))$... o no?
Colpo di scena! (Confesso, adesso ho guardato dei libri...)
Il Brezis (Analisi funzionale) dice che il lemma di Riesz è valido anche per un sottospazio vettoriale normato $X$ qualunque, addirittura anche non completo.
Quiz, e qui arriviamo al punto cruciale: (ora che ho guardato i libri posso anche fare il saputello )
in quali casi posso sostituire nella tesi $epsilon=0$?
P:S.: Ma sai che, essendo poi alle prime armi con queste cose, non riesco a trovare un errore nella tua dimostrazione?
Vuoi vedere che è giusta? (Curiosità, a che anno sei? Che corso è analisi funzionale o un esame sulle pde oppure studi da autodidatta?)
Il Brezis (Analisi funzionale) dice che il lemma di Riesz è valido anche per un sottospazio vettoriale normato $X$ qualunque, addirittura anche non completo.
Quiz, e qui arriviamo al punto cruciale: (ora che ho guardato i libri posso anche fare il saputello
)in quali casi posso sostituire nella tesi $epsilon=0$?
P:S.: Ma sai che, essendo poi alle prime armi con queste cose, non riesco a trovare un errore nella tua dimostrazione?
Vuoi vedere che è giusta? (Curiosità, a che anno sei? Che corso è analisi funzionale o un esame sulle pde oppure studi da autodidatta?)
"Thomas":
quella che dici tu è una condizione su $k$ necessaria e sufficiente perchè valga la diseguaglianza finale... d'altra parte $k$ si può definire anche come il minimo numero per cui vale la disuguaglianza iniziale, e quindi $k=1/(d(x,Y))$... o no?
Potrebbe anche non essere un minimo, nel senso che non è detto che la norma sia poi realizzata. Comunque anche se valesse l'uguale (cosa che potrebbe anche essere), non vedo dove possa essere il problema. Nel senso che ho "dimostrato" che:
$ d(x,Y) \geq 1$
se vale $k\geq 1/(d(x,Y))$ allora non ci sono problemi, se vale il segno di uguale, cosa su cui sinceramente non ho avuto ancora il tempo di pensare bene, si avrebbe $d(x,Y)=1$ che, in linea di principio, potrebbe anche essere vero.... per esempio, non vorrei dire una c***, ma sugli Hilbert dovrebbe valere $d(x,Y)=1$ con la scelta di $x$ che ho fatto....
"amel":
Colpo di scena! (Confesso, adesso ho guardato dei libri...)
Il Brezis (Analisi funzionale) dice che il lemma di Riesz è valido anche per un sottospazio vettoriale normato $X$ qualunque, addirittura anche non completo.
Quiz, e qui arriviamo al punto cruciale: (ora che ho guardato i libri posso anche fare il saputello
in quali casi posso sostituire nella tesi $epsilon=0$?
Il lemma di Riesz, come l'ho formulato io, è valido per ogni sottospazio chiuso proprio $Y$ di uno spazio vettoriale normato $X$. Anche non completo. La chiusura credo sia indispensabile. L'$\epsilon=0$ dovrebbe valere se lo spazio è completo e riflessivo... (forse si può indebolire questa ipotesi, ma non sò...) il guaio è proprio questo, con la mia dimostrazione ho l'$\epsilon=0$, ma non ho ne la completezza ne la riflessività!
"amel":
P:S.: Ma sai che, essendo poi alle prime armi con queste cose, non riesco a trovare un errore nella tua dimostrazione?
Vuoi vedere che è giusta? (Curiosità, a che anno sei? Che corso è analisi funzionale o un esame sulle pde oppure studi da autodidatta?)
No sicuramente è sbagliata il risultato è troppo troppo forte rispetto a quello di Riesz.
Il corso è proprio Analisi Funzionale, ovviamente è un corso per ingegneri, tuttavia come standard di rigore nelle lezioni credo che non siamo lontani da quelli che si fanno a Matematica (è uno standard ben diverso, infatti, dai corsi usuali per ingegneri)....
Ecco già che ci siamo posto anche la dimostrazione esatta del lemma di Riesz. Chissà mai che a qualcuno interessi.
Allora uno dei corollari del teorema di Hahn-Banach è che esiste $\Lambda$ tale per cui $\text{ker} \ \Lambda = Y$, ma $||\Lambda||_{X'}>0$. Allora per definizione di norma per ogni $\epsilon > 0$ esiste un $x$ di norma unitaria per cui si abbia:
$ \Lambda x \geq ||\Lambda||_{X'} ( 1 - \epsilon) $
allora se $y\in Y$:
$ ||\Lambda||_{ X' } ( 1 - \epsilon) \leq \Lambda x = \Lambda ( x - y ) \leq ||\Lambda||_{ X' } || x - y || $
prendendo l'inf su $y$, abbiamo la tesi.
Se poi $X$ Banach riflessivo un'altro corollario di Hahn-Banach permette di affermare che esiste un $x$ di norma unitaria per cui si abbia:
$ \Lambda x = ||\Lambda||_{X'} $
ripetendo i ragionamenti di prima si ha la tesi.
Una bella dimostrazione davvero. Compatta ed elegante, mica come quel pastrocchio che ho fatto io e che non si capisce manco dov'è l'errore!
Allora uno dei corollari del teorema di Hahn-Banach è che esiste $\Lambda$ tale per cui $\text{ker} \ \Lambda = Y$, ma $||\Lambda||_{X'}>0$. Allora per definizione di norma per ogni $\epsilon > 0$ esiste un $x$ di norma unitaria per cui si abbia:
$ \Lambda x \geq ||\Lambda||_{X'} ( 1 - \epsilon) $
allora se $y\in Y$:
$ ||\Lambda||_{ X' } ( 1 - \epsilon) \leq \Lambda x = \Lambda ( x - y ) \leq ||\Lambda||_{ X' } || x - y || $
prendendo l'inf su $y$, abbiamo la tesi.
Se poi $X$ Banach riflessivo un'altro corollario di Hahn-Banach permette di affermare che esiste un $x$ di norma unitaria per cui si abbia:
$ \Lambda x = ||\Lambda||_{X'} $
ripetendo i ragionamenti di prima si ha la tesi.
Una bella dimostrazione davvero. Compatta ed elegante, mica come quel pastrocchio che ho fatto io e che non si capisce manco dov'è l'errore!
"david_e":
se vale $k\geq 1/(d(x,Y))$ allora non ci sono problemi, se vale il segno di uguale, cosa su cui sinceramente non ho avuto ancora il tempo di pensare bene, si avrebbe $d(x,Y)=1$ che, in linea di principio, potrebbe anche essere vero.... per esempio, non vorrei dire una c***, ma sugli Hilbert dovrebbe valere $d(x,Y)=1$ con la scelta di $x$ che ho fatto....
e che scelta hai fatto? sinceramente non l'ho ben capito... le uniche proprietà di $x$ non sono essere di norma uno e non appartenente ad $Y$??? non è sufficiente per avere che la distanza dal sottospazio sia 1 (basta vedere un piano in R^3)...
potresti spiegarmi meglio le proprietà di $x$ che mi sfuggono?
"Thomas":
[quote="david_e"]
se vale $k\geq 1/(d(x,Y))$ allora non ci sono problemi, se vale il segno di uguale, cosa su cui sinceramente non ho avuto ancora il tempo di pensare bene, si avrebbe $d(x,Y)=1$ che, in linea di principio, potrebbe anche essere vero.... per esempio, non vorrei dire una c***, ma sugli Hilbert dovrebbe valere $d(x,Y)=1$ con la scelta di $x$ che ho fatto....
e che scelta hai fatto? sinceramente non l'ho ben capito... le uniche proprietà di $x$ non sono essere di norma uno e non appartenente ad $Y$??? non è sufficiente per avere che la distanza dal sottospazio sia 1 (basta vedere un piano in R^3)...
potresti spiegarmi meglio le proprietà di $x$ che mi sfuggono?[/quote]
Già:
"david_e":
non vorrei dire una c***
Ecco l'ho detta la c***: Hai ragione... $d(x,Y)$ è ancora arbitraria.... Quindi l'errore è sulla norma dell'operatore. (o meglio sicuramente lì è sbagliato, ma potrebbero esserci altri errori).
Sei riuscito a incasinarmi un po' (è facilissimo ), ok adesso ci siamo...
Solo una cosa, però, imprecisioni a parte, nella prima dimostrazione precisamente quali passaggi erano sbagliati?
), ok adesso ci siamo...Solo una cosa, però, imprecisioni a parte, nella prima dimostrazione precisamente quali passaggi erano sbagliati?
"amel":
Sei riuscito a incasinarmi un po' (è facilissimo
Solo una cosa, però, imprecisioni a parte, nella prima dimostrazione precisamente quali passaggi erano sbagliati?
Bella domanda...
è proprio questo il motivo per cui ho postato... ora siamo ancora più sicuri di prima che sia sbagliata, (in particolare sulla parte in cui dimostro che $||\Lambda||=1$), ma mi sfugge ancora dove...
Mi sa che ho trovato l'errore:
$\text{inf}_{y \in Y} ( ||\lambda x || - || q - y || ) = \text{inf}_{y \in Y} (|\lambda | - || q - y || ) $
Quest'ultima però non è mica necessariamente $|\lambda|$ (o sbaglio?)
$\text{inf}_{y \in Y} ( ||\lambda x || - || q - y || ) = \text{inf}_{y \in Y} (|\lambda | - || q - y || ) $
Quest'ultima però non è mica necessariamente $|\lambda|$ (o sbaglio?)
"amel":
Mi sa che ho trovato l'errore:
$\text{inf}_{y \in Y} ( ||\lambda x || - || q - y || ) = \text{inf}_{y \in Y} (|\lambda | - || q - y || ) $
Quest'ultima però non è mica necessariamente $|\lambda|$ (o sbaglio?)
Doh!
Era proprio una c**** come mi è venuto in mente che quell'inf fosse $\lambda$.... un'uscita così all'esame e sono finito!
Grazie amel e Thomas. Ero così preoccupato di applicare correttamente Hahn-Banach (e non vi dico quante elucubrazioni sul fatto se fosse ben definito o meno quel funzionale su $Z$ e se la decomposizione di $z\in Z$ come somma di un elemento di ${\lambda x}$ e uno di $Y$ fosse unica etc...) che alla fine ho fatto veramente un errore a dir poco __madornale__.
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