Quartica Piana
Ciao!
Qualcuno mi saprebbe spiegare come studiare la quartica piana C definita da:
\(\displaystyle x^4 + y^4 - xy = 0 \) ?
In particolare, dovrei mostrare che la parte reale di C ha nell'origine un nodo con due cappi, dei quali si
chiede l'area. Dovrei determinare inoltre le omografie piane (affinità) che mutano in sé la C.
Qualcuno mi sa aiutare?
Grazie!
Qualcuno mi saprebbe spiegare come studiare la quartica piana C definita da:
\(\displaystyle x^4 + y^4 - xy = 0 \) ?
In particolare, dovrei mostrare che la parte reale di C ha nell'origine un nodo con due cappi, dei quali si
chiede l'area. Dovrei determinare inoltre le omografie piane (affinità) che mutano in sé la C.
Qualcuno mi sa aiutare?
Grazie!
Risposte
La C è simmetrica rispetto alle bisettrici \(\displaystyle y=-x,y=x \) e rispetto all'origine O e queste simmetrie sono le affinità che trasformano in sé la C medesima. Scrivendo l'equazione di C come segue :
\(\displaystyle x^4+y^4=xy \)
si vede che deve essere \(\displaystyle xy\geq 0 \) e questo prova che la curva giace interamente nei quadranti primo e terzo del piano cartesiano. Nell'equazione di C mancano i termini di grado <2 e quindi l'origine \(\displaystyle O(0,0) \) è un nodo di C con tangenti le rette \(\displaystyle x=0,y=0 \). La curva C non presenta altri punti doppi e dunque non è razionale. Passando a coordinate proiettive \(\displaystyle t,x,y \) [o \(\displaystyle x_o,x_1,x_2 \)] l'equazione di C diventa :
\(\displaystyle x^4+y^4-t^2xy=0 \)
e secando la C con la retta impropria \(\displaystyle t=0 \) si ha l'equazione \(\displaystyle x^4+y^4=0 \) che non ha soluzioni reali con x e y non entrambi nulli. Pertanto la C, non avendo punti reali all'infinito, è una curva chiusa.
Per determinare l'area dei cappi ed altre caratteristiche di C conviene passare a coordinate polari, limitando lo studio al primo quadrante ( l'altro quadrante si ha per simmetria). Allora con qualche calcolo abbiamo l'equazione polare di C :
\(\displaystyle \rho^2=f(\theta)=\frac{\sin2\theta}{2-\sin^2 2\theta},0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2} \)
Derivando rispetto a \(\displaystyle \theta \) abbiamo :
\(\displaystyle (\rho^2)'=f'(\theta) =2\cos2\theta\frac{2+\sin^2 2\theta}{(2-\sin^2 2\theta)^2}\)
Da qui segue che :
per \(\displaystyle \theta \) crescente da \(\displaystyle 0 \) a \(\displaystyle \frac{\pi}{4} \) \(\displaystyle \rho \) cresce da \(\displaystyle 0 \) ad \(\displaystyle 1 \)
per \(\displaystyle \theta \) crescente da \(\displaystyle \frac{\pi}{4} \) a \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \) \(\displaystyle \rho \) decresce da \(\displaystyle 1 \) a \(\displaystyle 0 \)
Questo significa che, nel primo quadrante, il punto generico di C parte dall'origine per ritornarvi, descrivendo il primo dei due cappi. Il secondo cappio è il suo simmetrico rispetto all'origine.
Per calcolare l'area A di ciascuno dei due cappi possiamo usare la formula :
\(\displaystyle A=\frac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2}\rho^2 d \theta\)
Nel caso nostro è :
\(\displaystyle A=\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin2\theta}{2-4\sin^2 \theta\cos^2\theta}d \theta=\frac{1}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d(\sin^2 \theta)}{1-2\sin^2\theta\cos^2\theta} \)
Con la sostituzione \(\displaystyle \sin^2\theta=\frac{1+u}{2} \) l'integrale diventa :
\(\displaystyle A=\frac{1}{4}\int_{-1}^1\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\pi}{8}\)
e questa è l'area di ciascun cappio.
Grazie mille!!!
La tua risposta e' stata molto chiara ed estremamente utile! Ti ringrazio davvero di cuore!
A questo punto, se posso, ti chiederei un tuo parere anche per la seconda parte dello stesso esercizio. Questo diceva:
Si studi il gruppo G delle omografie ottenute.
Si risolva l'equazione differenziale
\(\displaystyle y' = -(4*x^3 -y)/(4*y^3 -x) \) , \(\displaystyle (1) \)
Si verifichi che le omografie di G mutano in sé la famiglia delle linee integrali della (1)
Mi potresti dare una mano anche per questo?
Ti ringrazio nuovamente!
La tua risposta e' stata molto chiara ed estremamente utile! Ti ringrazio davvero di cuore!
A questo punto, se posso, ti chiederei un tuo parere anche per la seconda parte dello stesso esercizio. Questo diceva:
Si studi il gruppo G delle omografie ottenute.
Si risolva l'equazione differenziale
\(\displaystyle y' = -(4*x^3 -y)/(4*y^3 -x) \) , \(\displaystyle (1) \)
Si verifichi che le omografie di G mutano in sé la famiglia delle linee integrali della (1)
Mi potresti dare una mano anche per questo?
Ti ringrazio nuovamente!
Il Gruppo delle trasformazioni in questione è quello delle simmetrie assiali e centrali, come ho già detto. Le proprietà di tale gruppo si possono reperire su un qualsiasi testo ( anche di matematica elementare) o su Internet tramite GOOGLE.
Quanto all'equazione possiamo scriverla così :
\(\displaystyle (y-4x^3)dx+(x-4y^3)dy=0 \)
Poiché :
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(y-4x^3)=1=\frac{\partial}{\partial x}(x-4y^3 )\)
il primo membro di detta equazione si può considerare come il differenziale ( totale) dU di una funzione
U(x,y) tale che sia :
(1) \(\displaystyle \frac{\partial U}{\partial x}=y-4x^3,\frac{\partial U}{\partial y}=x-4y^3 \)
Integrando rispetto ad x la prima delle (1) si ha :
(2) \(\displaystyle U=xy-x^4+f(y) \)
dove f(y) è una funzione di y da determinare.
Derivando la (2) rispetto ad y risulta :
\(\displaystyle \frac{\partial U}{\partial y} = x+f'(y)\)
ed eguagliando alla seconda delle (1) abbiamo :
\(\displaystyle x+f'(y)= x-4y^3 \) da cui \(\displaystyle f'(y)=-4y^3 \), da cui ancora \(\displaystyle f(y)=-y^4+C_o \)
Sostituendo tale valore di f(y) nella (2) risulta :
\(\displaystyle U=xy-x^4-y^4+C_o \)
Pertanto le linee integrali sono data da \(\displaystyle U=0 \) ovvero da :
\(\displaystyle x^4+y^4-xy=C_o \)
Come si vede, il primo membro di tale ultima equazione coincide col primo membro dell'equazione della quartica C e pertanto le suddette linee integrali vengono mutate in sé dalle medesime trasformazioni che mutano in sé la curva C.
Quanto all'equazione possiamo scriverla così :
\(\displaystyle (y-4x^3)dx+(x-4y^3)dy=0 \)
Poiché :
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(y-4x^3)=1=\frac{\partial}{\partial x}(x-4y^3 )\)
il primo membro di detta equazione si può considerare come il differenziale ( totale) dU di una funzione
U(x,y) tale che sia :
(1) \(\displaystyle \frac{\partial U}{\partial x}=y-4x^3,\frac{\partial U}{\partial y}=x-4y^3 \)
Integrando rispetto ad x la prima delle (1) si ha :
(2) \(\displaystyle U=xy-x^4+f(y) \)
dove f(y) è una funzione di y da determinare.
Derivando la (2) rispetto ad y risulta :
\(\displaystyle \frac{\partial U}{\partial y} = x+f'(y)\)
ed eguagliando alla seconda delle (1) abbiamo :
\(\displaystyle x+f'(y)= x-4y^3 \) da cui \(\displaystyle f'(y)=-4y^3 \), da cui ancora \(\displaystyle f(y)=-y^4+C_o \)
Sostituendo tale valore di f(y) nella (2) risulta :
\(\displaystyle U=xy-x^4-y^4+C_o \)
Pertanto le linee integrali sono data da \(\displaystyle U=0 \) ovvero da :
\(\displaystyle x^4+y^4-xy=C_o \)
Come si vede, il primo membro di tale ultima equazione coincide col primo membro dell'equazione della quartica C e pertanto le suddette linee integrali vengono mutate in sé dalle medesime trasformazioni che mutano in sé la curva C.
Non so come ringraziarti! Sei stato preziosissimo! Ho imparato molto da te e te ne sono grata..
Ti ringrazio davvero molto!
Ti ringrazio davvero molto!
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