Quanti autovalori ha una matrice
Buongiorno, c'è un teorema o altro che fa dedurre quanti autovalori avrà (al massimo o al minimo) una matrice a prescindere da come essa e' fatta?
Ho dato un'occhiata online ma non trovo nulla né tanto meno ricordo una cosa del genere.
Grazie!!
Ho dato un'occhiata online ma non trovo nulla né tanto meno ricordo una cosa del genere.
Grazie!!
Risposte
Ciao,
data una matrice $A \in M(n, \mathbb{K})$ i suoi autovalori sono radici del polinomio caratteristico $p_A(t) = det(A - tI)$ che ha grado $n$, nel migliore dei casi il polinomio ha $n$ radici distinte nel campo $\mathbb{K}$ dei coefficienti della matrice(quindi una matrice di ordine $n$ ha al massimo $n$ autovalori distinti), nel peggiore dei casi il polinomio non ammette radici nel campo $\mathbb{K}$, in tal caso la matrice non ha autovalori su $\mathbb[K}$(quindi ne ha 0).
Morale: il numero di autovalori di una matrice dipende dal campo dei coefficienti della matrice, una matrice di ordine $n$ ha al massimo $n$ autovalori distinti ma può anche non averne.
per esempio se $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ e $n = 2$ allora:
1) $( (1, 0), (0, 2))$ ha come polinomio caratteristico $p(t) = (t-1)(t-2)$ e quindi ha $2$ autovalori reali distinti.
2) $( (0, 1), (-1, 0))$ ha come polinomio caratteristico $p(t) = t^2 + 1$ che non ha radici reali, dunque la matrice non ha autovalori reali.
data una matrice $A \in M(n, \mathbb{K})$ i suoi autovalori sono radici del polinomio caratteristico $p_A(t) = det(A - tI)$ che ha grado $n$, nel migliore dei casi il polinomio ha $n$ radici distinte nel campo $\mathbb{K}$ dei coefficienti della matrice(quindi una matrice di ordine $n$ ha al massimo $n$ autovalori distinti), nel peggiore dei casi il polinomio non ammette radici nel campo $\mathbb{K}$, in tal caso la matrice non ha autovalori su $\mathbb[K}$(quindi ne ha 0).
Morale: il numero di autovalori di una matrice dipende dal campo dei coefficienti della matrice, una matrice di ordine $n$ ha al massimo $n$ autovalori distinti ma può anche non averne.
per esempio se $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ e $n = 2$ allora:
1) $( (1, 0), (0, 2))$ ha come polinomio caratteristico $p(t) = (t-1)(t-2)$ e quindi ha $2$ autovalori reali distinti.
2) $( (0, 1), (-1, 0))$ ha come polinomio caratteristico $p(t) = t^2 + 1$ che non ha radici reali, dunque la matrice non ha autovalori reali.
Grazie mille!
Nota che se il campo fosse stato $\mathbb{C}$ entrambe le matrici avrebbero avuto autovalori(complessi).
Dunque se il campo è algebricamente chiuso ogni matrice ha almeno un autovalore.
Dunque se il campo è algebricamente chiuso ogni matrice ha almeno un autovalore.
La matrice 1) avrebbe sì autovalori complessi ma con parte immaginaria nulla, avrei quelli che hai scritto prima no? Quindi sostanzialmente sarebbero comunque reali
Sì certo, era per sottolineare l'appartenenza degli autovalori al campo dei coefficienti(che nel primo caso è $\mathbb{R}$ e nel secondo è $\mathbb{C}$)
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