Quando vale $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ con $A,B$ matrici

[BoG3]

Vorrei chedervi se il mio procedimento è giusto:

Date $2$ matrici $A=((1,a),(b,2)),B=((2,b),(a,1))$, determinare i valori $a, b$ per i quali vale: $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$.

Io ho semplicemente calcolato $(A+B), (A-B)$, poi ho fatto la moltiplicazione tra matrici, poi dall'altra parte ho fatto $A*A, B*B$ e poi sotratto.

Poi ho messo a uguaglianza la prima riga di $(A+B)(A-B)$ e la prima riga di $A^2-B^2$, poi la stessa cosa per la seconda e poi ho tentato di risolvere il sistema ma non viene mai nulla... è sbagliato il procedimento?

I miei calcoli sono i seguenti:

$A+B= ((3,a+b),(a+b,3))$, $A-B=((-1,a-b),(b-a,2))$,

$(A+B)(A-B)=((-3+b^2-a^2,3(a-b)+2(a+b)),(-(a+b)+3(b-a),a^2-b^2+6))$

$A^2=((1+ab,3a),(3b,ab+4))$, $B^2=((4+ab,3b),(3a,ab+1))$

$A^2-B^2 = ((-3,3a-3b),(3b-3a,3))$ ora creo il sistema:

$\{(-3+b^2-a^2+3a-3b+2a+2b=-3+3a-3b),(-a-b+3b-3a+a^2-b^2+6=3b-3a+3):}$

giusto?

[ciampax]

Quando $A$ e $B$ commutano. Evita di fare tutto quel caos di conti: scrivi semplicemente questa uguaglianza

$AB=BA$

e risolvi.

[perplesso1]

$(A+B)(A-B)=A^2 - B^2$ significa

$A^2 +BA-AB-B^2 = A^2 - B^2$

e cancellando $A^2$ a sinistra e $B^2$ a destra hai che $BA-AB=0$ ovvero l'uguaglianza è soddisfatta esattamente quando le due matrici permutano, cioè quando $AB = BA$. Quindi facciamo la moltiplicazione e otteniamo

$((a^2+2,a+b),(2a+2b,b^2+2))=((b^2+2,2a+2b),(a+b,a^2+2))$

da cui ottieni il sistema

$a^2-b^2=0$
$a+b=0$

che (se non sbaglio qualcosa) è indeterminato con soluzioni $a= \lambda$ e $b=-\lambda$.

[BoG3]

quindi è meglio prima cercare di semplificare e solo dopo fare effettivamente i conti?

[apatriarca]

quindi è meglio prima cercare di semplificare e solo dopo fare effettivamente i conti?

Questo è sempre vero..