Quando un endomorfismo q(F) è invertibile?
Sia $F$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $ K $ e sia $p_A(X)$ il suo polinomio caratteristico.
Sia $q(X) in K[X]$. Dare condizioni che assicurino che l'endomorfismo $q(F)$ è invertibile (se lo si ritiene utile supporre $K$ algebricamente chiuso).
Ho provato a fare questo esercizio ma non sono sicura che quello che ho scritto sia giusto:
Supponendo che $dimV=n$, se $F$ è diagonalizzabile avrà $n$ autovalori distinti $\lambda_1,....,\lambda_n$.
In tal caso ogni polinomio in $F$ è diagonalizzabile, quindi il nostro $q(F)$ è diagonalizzabile con autovalori $q(\lambda_1),...,q(\lambda_n)$.
Quindi la matrice associata a $q(F)$ avrà sulla diagonale gli autovalori $q(\lambda_1),...,q(\lambda_n)$.
$F$ è invertibile se la sua matrice associata è invertibile cioè se il suo determinante è diverso da $0$.
Il determinante della nostra matrice si annulla solo se per un qualche autovalore $\lambda_i$, $q(\lambda_i)=0$, cioè se $(\lambda_i-x)$ divide $q(X)$. Ovvero se $q(X)$ e $p_A(X)$ non sono primi tra loro.
Per cui io concluderei dicendo che le condizioni che assicurano che $q(F)$ sia invertibile sono:
1) $F$ deve essere diagonalizzabile
2) $p_A(X)$ e $q(X)$ devono essere primi tra loro.
Ma non so se è sufficiente questa spiegazione e se il mio procedimento è giusto. Qualcuno può darmi dei suggerimenti? grazie infinite del vostro prezioso aiuto!
Sia $q(X) in K[X]$. Dare condizioni che assicurino che l'endomorfismo $q(F)$ è invertibile (se lo si ritiene utile supporre $K$ algebricamente chiuso).
Ho provato a fare questo esercizio ma non sono sicura che quello che ho scritto sia giusto:
Supponendo che $dimV=n$, se $F$ è diagonalizzabile avrà $n$ autovalori distinti $\lambda_1,....,\lambda_n$.
In tal caso ogni polinomio in $F$ è diagonalizzabile, quindi il nostro $q(F)$ è diagonalizzabile con autovalori $q(\lambda_1),...,q(\lambda_n)$.
Quindi la matrice associata a $q(F)$ avrà sulla diagonale gli autovalori $q(\lambda_1),...,q(\lambda_n)$.
$F$ è invertibile se la sua matrice associata è invertibile cioè se il suo determinante è diverso da $0$.
Il determinante della nostra matrice si annulla solo se per un qualche autovalore $\lambda_i$, $q(\lambda_i)=0$, cioè se $(\lambda_i-x)$ divide $q(X)$. Ovvero se $q(X)$ e $p_A(X)$ non sono primi tra loro.
Per cui io concluderei dicendo che le condizioni che assicurano che $q(F)$ sia invertibile sono:
1) $F$ deve essere diagonalizzabile
2) $p_A(X)$ e $q(X)$ devono essere primi tra loro.
Ma non so se è sufficiente questa spiegazione e se il mio procedimento è giusto. Qualcuno può darmi dei suggerimenti? grazie infinite del vostro prezioso aiuto!
Risposte
La risposta non la so, ma sicuramente abbiamo frequentato entrambi geometria I col Miglio xD
ahah grande anche studi a bologna!!! sei del primo anno? io sono del secondo ma mi è rimasta indietro geo1 con il grandissimo miglio! 
Sisi del primo anno, infatti geometria mi sa che lo passerò l'anno rpossimo con la mana xD
Comunque, perché dici che gli autovalori devono essere tutti distinti..non basta che la loro molteplicità come radice di Pf(T) sia uguale alla dim dell'autospazio da loro definito?
Comunque, perché dici che gli autovalori devono essere tutti distinti..non basta che la loro molteplicità come radice di Pf(T) sia uguale alla dim dell'autospazio da loro definito?
Non capisco chi sia $q(F)$.
@duma: Si ho sbagliato: volevo dire che se $F$ è diagonalizzabile esisterà una base di autovattori ${v_1,...,v_n}$ con autovalori ${\lambda_1,...,\lambda_n}$ (non necessariamente tutti distinti).
@mistake89: Se $q(X)=a_0+a_1x+....+a_nx^(n)$ allora $q(F)=a_0+a_1(F)+....+a_n(F)^(n).
Quindi se $ F$ è diagonalizzabile $F(v)=\lambdav$ e
$q(F)(v)=a_0v+a_1F(v)+....+a_nF^(n)(v)$ $=(a_0+a_1\lambda+...+a_n\lambda^(n))v$
@mistake89: Se $q(X)=a_0+a_1x+....+a_nx^(n)$ allora $q(F)=a_0+a_1(F)+....+a_n(F)^(n).
Quindi se $ F$ è diagonalizzabile $F(v)=\lambdav$ e
$q(F)(v)=a_0v+a_1F(v)+....+a_nF^(n)(v)$ $=(a_0+a_1\lambda+...+a_n\lambda^(n))v$
Ah ok, grazie. Non l'avevo mai incontrato, inizio a pensarci allora!
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