Qualche dubbio pre-esame
Salve ragazzi.
Vi chiedo scusa in anticipo se non passo dalla sezione "Presentazioni" ma purtroppo vado di fretta..ma dopo l'esame ci passerò sicuramente
Vi spiego la mia situazione.
Lunedì ho l'esame di Algebra Lineare e Geometria(Primo anno di Ingegneria Informatica)ma ho alcuni dubbi e non riesco a trovare risposte.
Purtroppo a livello teorico non ho una grandissima preparazione perciò, in vista dello scritto, mi sto preparando essenzialmente ad affrontare lo scritto quindi ho impaarto come fare le cose ma non il motivo per cui si fanno in un determinato modo.
Veniamo ai dubbi..
1)Questo è banale ma capita e il libro non è esauriente su questo..
Quando effettuo la riduzione a scala di una matrice e restano due righe che hanno il primo elemento uguale a zero ma che non mi permettono di rendere zero anche il secondo come devo procedere?
Cioè ho una matrice 3x3(ad esempio)..
$((x,y,z),(0,y',z'),(0,y'',z''))$
Se non sono possibili operazioni per rendere una delle ultime righe uguale a $(0,0,z')$ [oppure $(0,0,z'')$]come devo fare?
Per caso vuol dire che non ci sono soluzioni?
2) La somma diretta..Come funziona?
C'è una domanda che chiede se $RR$ ³ = KerA $o+$ Im($A^T$ )
Che dovrei fare per rispondere al quesito?
3)Piani passanti per un punto e paralleli ad una retta
Qua il problema è più semplice..calcolo il fascio di piani che passa per il punto P e poi non dovrei fare altro che imporre la perpendicolarità tra la retta e il vettore direttore del piano o no?
Bene..ecco il problema...Il prodotto tra i parametri di giacitura della retta e le componenti del vettore direttore deve essere uguale a 0
Ma cosi arrivo ad un'equazione in 3 incognite..Come procedere?
4)Ultima domanda(si spera)
Con autovalori e autospazi non ho problemi ma arrivo ad un quesito al quale non so rispondere
Matrice diagonale e matrice diagonalizzante..Che sono?
So che nella matrice diagonale si mettono tutti zeri tranne per la diagonale principale nella quale vanno gli autovalori..ma poi?
Che altro devo fare?
Vi ringrazio in anticipo per le eventuali risposte e vi chiedo scusa se l'ho fatta lunga ma purtroppo l'esame è lunedì ed è il terzo in 5 giorni quindi non ho avuto tanto tempo per prepararlo
Vi chiedo scusa in anticipo se non passo dalla sezione "Presentazioni" ma purtroppo vado di fretta..ma dopo l'esame ci passerò sicuramente
Vi spiego la mia situazione.
Lunedì ho l'esame di Algebra Lineare e Geometria(Primo anno di Ingegneria Informatica)ma ho alcuni dubbi e non riesco a trovare risposte.
Purtroppo a livello teorico non ho una grandissima preparazione perciò, in vista dello scritto, mi sto preparando essenzialmente ad affrontare lo scritto quindi ho impaarto come fare le cose ma non il motivo per cui si fanno in un determinato modo.
Veniamo ai dubbi..
1)Questo è banale ma capita e il libro non è esauriente su questo..
Quando effettuo la riduzione a scala di una matrice e restano due righe che hanno il primo elemento uguale a zero ma che non mi permettono di rendere zero anche il secondo come devo procedere?
Cioè ho una matrice 3x3(ad esempio)..
$((x,y,z),(0,y',z'),(0,y'',z''))$
Se non sono possibili operazioni per rendere una delle ultime righe uguale a $(0,0,z')$ [oppure $(0,0,z'')$]come devo fare?
Per caso vuol dire che non ci sono soluzioni?
2) La somma diretta..Come funziona?
C'è una domanda che chiede se $RR$ ³ = KerA $o+$ Im($A^T$ )
Che dovrei fare per rispondere al quesito?
3)Piani passanti per un punto e paralleli ad una retta
Qua il problema è più semplice..calcolo il fascio di piani che passa per il punto P e poi non dovrei fare altro che imporre la perpendicolarità tra la retta e il vettore direttore del piano o no?
Bene..ecco il problema...Il prodotto tra i parametri di giacitura della retta e le componenti del vettore direttore deve essere uguale a 0
Ma cosi arrivo ad un'equazione in 3 incognite..Come procedere?
4)Ultima domanda(si spera
)Con autovalori e autospazi non ho problemi ma arrivo ad un quesito al quale non so rispondere
Matrice diagonale e matrice diagonalizzante..Che sono?
So che nella matrice diagonale si mettono tutti zeri tranne per la diagonale principale nella quale vanno gli autovalori..ma poi?
Che altro devo fare?
Vi ringrazio in anticipo per le eventuali risposte e vi chiedo scusa se l'ho fatta lunga ma purtroppo l'esame è lunedì ed è il terzo in 5 giorni quindi non ho avuto tanto tempo per prepararlo
Risposte
ciao, l'esame di geometria l'ho fatto molto tempo fa, quindi alcune cose non le ricordo, posso aiutarti su un paio di domande.
per quanto riguarda il primo punto tutte le matrici reali sono riducibili a una matrice in forma canonica (cioè a scala) per il questo il tuo libro non è esauriente, mi sembra strano che arrivi ad un punto in cui non riesci ad andare avanti, le operazioni che puoi usare sono: moltiplicare una riga per uno scalare, sommare ad una riga un'altra moltiplicata per uno scalare qualsiasi e scambiare due righe.
per quanto riguarda la domanda 4 una matrice $A$ è diagonalizzabile se è quadrata e se esiste una matrice $H$ tale che la matrice $B=H^-1AH$ è diagonale. Per stabilire se una matrice è diagonalizzabile bisogna calcolarne gli autovalori e se la molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore coincidono allora è diagonalizzabile; se la matrice è di ordine $n$ e trovi $n$ autovalori distinti allora la matrice è diagonalizzabile in quanto la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale a quella algebrica. semplifica molto la vita sapere che ogni matrice simmetrica (e quelle diagonali lo sono) è diagonalizzabile.
spero di esserti stato utile.
per quanto riguarda il primo punto tutte le matrici reali sono riducibili a una matrice in forma canonica (cioè a scala) per il questo il tuo libro non è esauriente, mi sembra strano che arrivi ad un punto in cui non riesci ad andare avanti, le operazioni che puoi usare sono: moltiplicare una riga per uno scalare, sommare ad una riga un'altra moltiplicata per uno scalare qualsiasi e scambiare due righe.
per quanto riguarda la domanda 4 una matrice $A$ è diagonalizzabile se è quadrata e se esiste una matrice $H$ tale che la matrice $B=H^-1AH$ è diagonale. Per stabilire se una matrice è diagonalizzabile bisogna calcolarne gli autovalori e se la molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore coincidono allora è diagonalizzabile; se la matrice è di ordine $n$ e trovi $n$ autovalori distinti allora la matrice è diagonalizzabile in quanto la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale a quella algebrica. semplifica molto la vita sapere che ogni matrice simmetrica (e quelle diagonali lo sono) è diagonalizzabile.
spero di esserti stato utile.
Perfetto!
Almeno il punto 1 e 4 sono chiariti..Grazie mille
Intanto però i dubbi dell'ultimo minuto crescono :S
Ne aggiungo un paio
1) EDIT: Risolto
2)Ritorniamo a geometria..
Apparentemente geometria è facile perchè si tratta quasi solamente di applicare formule..
Però ho trovato du quesiti che non riesco a risolvere..
"Piani passanti per P e perpendicolari a $\pi$" (cioè $\pi'$ per $P _|_ \pi'$)
e
"Rette passanti per Q e parallele a $\pi$" (cioè $r$ per $Q //// \pi$)
Quali sono le procedure da utilizzare?
I piani passanti per P li trovo con la stella di piani ma non riesco ad imporre la perpendicolarità con il piano
Altro discorso per il secondo in quanto non riesco proprio a trovare il fascio di rette passanti per il punto Q
3) Il terzo punto, più che una domanda, è una richiesta di consigli
Devo risolvere un sistema parametrico e discuterlo al variare di k
Vorrei sapere in che modo procedete o qualcosa da tenere a mente..
Io ho trovato difficoltà con questo :
${(2x+7y+3z=7),(x+2y+kz=2),(kx+5y+2z=5):}$
Ho scritto la matrice :
$((2,7,3,7),(1,2,k,2),(k,5,2,5))$
Poi ho sostituito alla riga 1 il risultato di Riga1-2Riga2 e quindi:
$((0,3,3-2k,3),(1,2,k,2),(k,5,2,5))$
e qua mi blocco :S
Spero in qualche altra risposta perchè sul libro non c'è niente di utile :S
Almeno il punto 1 e 4 sono chiariti..Grazie mille
Intanto però i dubbi dell'ultimo minuto crescono :S
Ne aggiungo un paio
1) EDIT: Risolto
2)Ritorniamo a geometria..
Apparentemente geometria è facile perchè si tratta quasi solamente di applicare formule..
Però ho trovato du quesiti che non riesco a risolvere..
"Piani passanti per P e perpendicolari a $\pi$" (cioè $\pi'$ per $P _|_ \pi'$)
e
"Rette passanti per Q e parallele a $\pi$" (cioè $r$ per $Q //// \pi$)
Quali sono le procedure da utilizzare?
I piani passanti per P li trovo con la stella di piani ma non riesco ad imporre la perpendicolarità con il piano
Altro discorso per il secondo in quanto non riesco proprio a trovare il fascio di rette passanti per il punto Q
3) Il terzo punto, più che una domanda, è una richiesta di consigli
Devo risolvere un sistema parametrico e discuterlo al variare di k
Vorrei sapere in che modo procedete o qualcosa da tenere a mente..
Io ho trovato difficoltà con questo :
${(2x+7y+3z=7),(x+2y+kz=2),(kx+5y+2z=5):}$
Ho scritto la matrice :
$((2,7,3,7),(1,2,k,2),(k,5,2,5))$
Poi ho sostituito alla riga 1 il risultato di Riga1-2Riga2 e quindi:
$((0,3,3-2k,3),(1,2,k,2),(k,5,2,5))$
e qua mi blocco :S
Spero in qualche altra risposta perchè sul libro non c'è niente di utile :S
2 nuovo) $pi$ è un piano? Supponiamo che sia definito attraverso la forma conica ($ax+by+cz+d=0$) allora $vec u\cdot (P-P_0) = 0$ dove $P_0$ è un punto conosciuto del piano, $P$ è il punto qualsiasi del piano e $\vec v$ è il vettore $(a,b,c)$.
Quindi la retta passante per $P = (x_0,y_0,z_0)$ e perpendicolare al piano $\pi:ax+by+cz+d=0$ è la retta:
${(x = x_0 + at),(y = y_0 + bt),(z = z_0 + ct):}
Per trovarne una parallela bisogna trovare un vettore perpendicolare a $\vec v = (a,b,c)$ e procedere in modo analogo.
Ovviamente se il piano è definito in modo diverso si procede diversamente...
Queste cose però sono cose semplici, se non le sai come pensi di passarlo...
Ora il 3 nuovo)
Perché hai sottratto il secondo al primo? Generalmente si procede per ridurla in forma triangolare superiore... Quindi o scampi le righe per vari motivi computazionali (quando studierai numerica queste cose le vedrai) oppure procedi togliendo alla seconda la prima... Il tuo passaggio è avvenuto perché nella seconda riga avevi un 1, ed è una scelta condivisibile ma allora fai lo scambio esplicitamente.
$((2,7,3,7),(1,2,k,2),(k,5,2,5)) \Rightarrow ((1,2,k,2),(2,7,3,7),(k,5,2,5))$
Quindi ora procedi come prima e ricavi
$((1,2,k,2),(2,7,3,7),(k,5,2,5)) \Rightarrow ((1,2,k,2),(0,3,3-2k,3),(k,5,2,5)) \Rightarrow ((1,2,k,2),(0,3,3-2k,3),(0,5-2k,2-k^2,5-2k))$
Ora diventa un po' più complesso ma dopo tutto $5-2k$ è un numero reale. Quindi:
$((1,2,k,2),(0,3,3-2k,3),(0,5-2k,2-k^2,5-2k)) \Rightarrow ((1,2,k,2),(0,3,3-2k,3),(0,0,2-k^2 - 5/3 +2/3 k,5-2k -1/3(5-2k))) = ((1,2,k,2),(0,3,3-2k,3),(0,0,-k^2 +2/3k+1/3, 2/3(5-2k)))$
Ora vediamo di usare il backtracking...
$-k^2 +2/3k+1/3 = 2/3(5-2k)$
$-k^2 +2/3k+1/3 = (10)/3 - 4/3k$
$-k^2 +2k -3 = 0$
Ora $b^2-4ac = 4 - 12 = -8$ e quindi quel sistema dovrebbe essere impossibile (ma forse ho sbagliato qualche segno da qualche parte...
)
Nel caso in cui $k$ abbia soluzioni devi sostituire e risolvere il sistema per quei $k$.
Il 2) iniziale ora...
Questo dipende un po' da come hai definito la trasposta e se conosci la definizione di trasposta di un omomorfismo... Se non la sai la trasposta di una funzione $f:E\to F$ è quella funzione $f^T : F^{\times}\to E^{\times}$ definita come:
$y^{\times} \mapsto y^{\times}\circ f$
dove $F^{\times}$ e $E^{\times}$ sono i duali di $F$ ed $E$ e $y^{\times}$ è un elemento qualsiasi di $F^{\times}$
Per velocità io uso la connessione fa omomorfismi a matrici...
Io so che $ker(A)$ e $ker(A^T)$ hanno la stessa dimensione perché $A$ e $A^T$ hanno lo stesso rango.
Inoltre se $x\in ker(A)$ allora per ogni $y^{\times} \in F^{\times}$: $y^{\times}(Ax) = y^{\times}(0_F) = 0$ e quindi $x \in ker(A^T)$. Essendo quindi spazi vettoriali della stessa dimensione $ker(A)=ker(A^T)$.
Quindi $R^3 = ker(A^T) \oplus Im(A^T) = ker(A) \oplus Im(A^T)$ e questo conclude la dimostrazione.
Esistono dimostrazioni solo con le matrici e solo con gli omomorfismi ma ho preferito mischiare... Nel caso degli omomorfismi bastava usare il fatto che $(A^T)^T=A$. Se volevi usare solo le matrici ci dovrei pensare un momento, ultimamente lavoro di più con gli omomorfismi e sono più allenato con loro...
Quindi la retta passante per $P = (x_0,y_0,z_0)$ e perpendicolare al piano $\pi:ax+by+cz+d=0$ è la retta:
${(x = x_0 + at),(y = y_0 + bt),(z = z_0 + ct):}
Per trovarne una parallela bisogna trovare un vettore perpendicolare a $\vec v = (a,b,c)$ e procedere in modo analogo.
Ovviamente se il piano è definito in modo diverso si procede diversamente...
Queste cose però sono cose semplici, se non le sai come pensi di passarlo...
Ora il 3 nuovo)
"Gh0s7":
Io ho trovato difficoltà con questo :
${(2x+7y+3z=7),(x+2y+kz=2),(kx+5y+2z=5):}$
Ho scritto la matrice :
$((2,7,3,7),(1,2,k,2),(k,5,2,5))$
Poi ho sostituito alla riga 1 il risultato di Riga1-2Riga2 e quindi:
$((0,3,3-2k,3),(1,2,k,2),(k,5,2,5))$
e qua mi blocco :S
Perché hai sottratto il secondo al primo? Generalmente si procede per ridurla in forma triangolare superiore... Quindi o scampi le righe per vari motivi computazionali (quando studierai numerica queste cose le vedrai) oppure procedi togliendo alla seconda la prima... Il tuo passaggio è avvenuto perché nella seconda riga avevi un 1, ed è una scelta condivisibile ma allora fai lo scambio esplicitamente.
$((2,7,3,7),(1,2,k,2),(k,5,2,5)) \Rightarrow ((1,2,k,2),(2,7,3,7),(k,5,2,5))$
Quindi ora procedi come prima e ricavi
$((1,2,k,2),(2,7,3,7),(k,5,2,5)) \Rightarrow ((1,2,k,2),(0,3,3-2k,3),(k,5,2,5)) \Rightarrow ((1,2,k,2),(0,3,3-2k,3),(0,5-2k,2-k^2,5-2k))$
Ora diventa un po' più complesso ma dopo tutto $5-2k$ è un numero reale. Quindi:
$((1,2,k,2),(0,3,3-2k,3),(0,5-2k,2-k^2,5-2k)) \Rightarrow ((1,2,k,2),(0,3,3-2k,3),(0,0,2-k^2 - 5/3 +2/3 k,5-2k -1/3(5-2k))) = ((1,2,k,2),(0,3,3-2k,3),(0,0,-k^2 +2/3k+1/3, 2/3(5-2k)))$
Ora vediamo di usare il backtracking...
$-k^2 +2/3k+1/3 = 2/3(5-2k)$
$-k^2 +2/3k+1/3 = (10)/3 - 4/3k$
$-k^2 +2k -3 = 0$
Ora $b^2-4ac = 4 - 12 = -8$ e quindi quel sistema dovrebbe essere impossibile (ma forse ho sbagliato qualche segno da qualche parte...
)Nel caso in cui $k$ abbia soluzioni devi sostituire e risolvere il sistema per quei $k$.
Il 2) iniziale ora...
Questo dipende un po' da come hai definito la trasposta e se conosci la definizione di trasposta di un omomorfismo... Se non la sai la trasposta di una funzione $f:E\to F$ è quella funzione $f^T : F^{\times}\to E^{\times}$ definita come:
$y^{\times} \mapsto y^{\times}\circ f$
dove $F^{\times}$ e $E^{\times}$ sono i duali di $F$ ed $E$ e $y^{\times}$ è un elemento qualsiasi di $F^{\times}$
Per velocità io uso la connessione fa omomorfismi a matrici...
Io so che $ker(A)$ e $ker(A^T)$ hanno la stessa dimensione perché $A$ e $A^T$ hanno lo stesso rango.
Inoltre se $x\in ker(A)$ allora per ogni $y^{\times} \in F^{\times}$: $y^{\times}(Ax) = y^{\times}(0_F) = 0$ e quindi $x \in ker(A^T)$. Essendo quindi spazi vettoriali della stessa dimensione $ker(A)=ker(A^T)$.
Quindi $R^3 = ker(A^T) \oplus Im(A^T) = ker(A) \oplus Im(A^T)$ e questo conclude la dimostrazione.
Esistono dimostrazioni solo con le matrici e solo con gli omomorfismi ma ho preferito mischiare... Nel caso degli omomorfismi bastava usare il fatto che $(A^T)^T=A$. Se volevi usare solo le matrici ci dovrei pensare un momento, ultimamente lavoro di più con gli omomorfismi e sono più allenato con loro...
Grazie per la risposta
Veniamo al punto 2 nuovo
Sono 2 quesiti separati(mi scuso per la poca chiarezza)
Il primo richiede i piani passanti per il punto P e perpendicolari al piano $\pi$ (In questo caso il piano $\pi$ è definito come $\pi:x+3y+2z=0$ )
Il secondo invece richiede le rette passanti per il punto Q e parallele al piano $\pi$ (lo stesso di sopra)
Come si procede?
(Primo quesito del punto 2 nuovo)
I piani per il punto P li trovo con la stella di piani ma poi non riesco ad imporre la perpendicolarità tra i piani perchè facendo $(a,b,c)(a',b',c')=0$ esce un'equazione del tipo (aa')(bb')(cc')=0 che non so risolvere visto che sono 3 incognite in una sola equazione
(Secondo quesito punto 2 nuovo)
Qua invece non riesco proprio a trovare le rette passanti per il punto Q
Ho trovato una formula per il fascio di rette che è $\alpha(x'-x)+\beta(y'-y)$ ma non so se sia giusta o meno..
Avendo $Q(4,1,0)$ e $\pi:x+3y+2z=0$ e seguendo questa formula dovrebbe venire $4\alpha-\alphax+\beta-\betay$ e queste sarebbero quindi le rette passanti per Q ma siccome devo imporre il parallelismo con $\pi$ si torna al punto di prima e cioè alla perpendicolarità tra due rette..
Cioè retta e piano paralleli vuol dire che il vettore direttore del piano deve essere perpendicolare alla retta..
E questo non riesco a trovarlo da nessuna parte..neanche sul libro!
Perchè viene un'equazione nella quale (ad esempio) $a=c-2b$ e mi rende impossibile ogni continuazione
Per quanto riguarda il punto 2 originale..Noi la trasposta l'abbiamo definita solo come la matrice che ha righe e colonne scambiate rispetto ad $A$ mentre c'è stato detto che la somma diretta tra $U$ e $W$ è
${(U+W),(U nnn W = {0}):}$
e cioè che la somma diretta sarebbe la somma tra U e W ma solo se la loro intersezione è uguale all'insieme vuoto..
Questa definizione però non mi aiuta nella risoluzione dell'esercizio(anche perchè mi è oscura la somma tra U e W)
Vi ringrazio per la pazienza nel rispondermi ma purtroppo il corso è stato 6 mesi fa e non ho le cose fresche come all'epoca perciò ho bisogno di chiedere a qualcuno..
Veniamo al punto 2 nuovo
Sono 2 quesiti separati(mi scuso per la poca chiarezza)
Il primo richiede i piani passanti per il punto P e perpendicolari al piano $\pi$ (In questo caso il piano $\pi$ è definito come $\pi:x+3y+2z=0$ )
Il secondo invece richiede le rette passanti per il punto Q e parallele al piano $\pi$ (lo stesso di sopra)
Come si procede?
(Primo quesito del punto 2 nuovo)
I piani per il punto P li trovo con la stella di piani ma poi non riesco ad imporre la perpendicolarità tra i piani perchè facendo $(a,b,c)(a',b',c')=0$ esce un'equazione del tipo (aa')(bb')(cc')=0 che non so risolvere visto che sono 3 incognite in una sola equazione
(Secondo quesito punto 2 nuovo)
Qua invece non riesco proprio a trovare le rette passanti per il punto Q
Ho trovato una formula per il fascio di rette che è $\alpha(x'-x)+\beta(y'-y)$ ma non so se sia giusta o meno..
Avendo $Q(4,1,0)$ e $\pi:x+3y+2z=0$ e seguendo questa formula dovrebbe venire $4\alpha-\alphax+\beta-\betay$ e queste sarebbero quindi le rette passanti per Q ma siccome devo imporre il parallelismo con $\pi$ si torna al punto di prima e cioè alla perpendicolarità tra due rette..
Cioè retta e piano paralleli vuol dire che il vettore direttore del piano deve essere perpendicolare alla retta..
E questo non riesco a trovarlo da nessuna parte..neanche sul libro!
Perchè viene un'equazione nella quale (ad esempio) $a=c-2b$ e mi rende impossibile ogni continuazione
Per quanto riguarda il punto 2 originale..Noi la trasposta l'abbiamo definita solo come la matrice che ha righe e colonne scambiate rispetto ad $A$ mentre c'è stato detto che la somma diretta tra $U$ e $W$ è
${(U+W),(U nnn W = {0}):}$
e cioè che la somma diretta sarebbe la somma tra U e W ma solo se la loro intersezione è uguale all'insieme vuoto..
Questa definizione però non mi aiuta nella risoluzione dell'esercizio(anche perchè mi è oscura la somma tra U e W)
Vi ringrazio per la pazienza nel rispondermi ma purtroppo il corso è stato 6 mesi fa e non ho le cose fresche come all'epoca perciò ho bisogno di chiedere a qualcuno..
______________Nuovo... _______________
1) Quello è un prodotto scalare e non uno normale. La condizione è aa' + bb' + cc' = 0 che nel tuo caso è $a'+3b'+2c' = 0$. Questa condizione di fatto definisce tutti i possibili piani. Trovate due soluzioni metti il risultato come fascio di piani. Per esempio $(1,1,-2)$ e $(-1,1,-1)$ sono due soluzioni. Trovi i due piani che passano per $P$ e poi dalla loro "combinazione lineare" definisci il fascio di piani.
2) La condizione è la stessa... Infatti sono l'insieme delle rette perpendicolari al vettore tangente e quindi la condizione diventa esattamente la stessa, anche se magari non segni con $a'$, $b'$, $c'$ le componenti del vettore parallelo alla retta. In questo caso (ed usando le due soluzioni di prima) sono tutte le rette che sono parallele ad un vettore contenuto nel sottospazio generato da $(1,1,-2)$ e $(-1,1,-1)$ (quindi che è una combinazione lineare dei due vettori).
Detto in un altro modo ogni piano perpendicolare a $pi$ e passante per $P$ è perpendicolare ad una delle rette passanti per $P$ e parallela a $pi$.
______________Vecchio..._______________
La somma di due sottospazi è semplicemente la somma di ogni elemento del primo con ogni elemento del secondo. Ci sono un po' di relazioni collegate alla somma diretta. Ti conviene andarla a leggere sul libro.
1) Quello è un prodotto scalare e non uno normale. La condizione è aa' + bb' + cc' = 0 che nel tuo caso è $a'+3b'+2c' = 0$. Questa condizione di fatto definisce tutti i possibili piani. Trovate due soluzioni metti il risultato come fascio di piani. Per esempio $(1,1,-2)$ e $(-1,1,-1)$ sono due soluzioni. Trovi i due piani che passano per $P$ e poi dalla loro "combinazione lineare" definisci il fascio di piani.
2) La condizione è la stessa... Infatti sono l'insieme delle rette perpendicolari al vettore tangente e quindi la condizione diventa esattamente la stessa, anche se magari non segni con $a'$, $b'$, $c'$ le componenti del vettore parallelo alla retta. In questo caso (ed usando le due soluzioni di prima) sono tutte le rette che sono parallele ad un vettore contenuto nel sottospazio generato da $(1,1,-2)$ e $(-1,1,-1)$ (quindi che è una combinazione lineare dei due vettori).
Detto in un altro modo ogni piano perpendicolare a $pi$ e passante per $P$ è perpendicolare ad una delle rette passanti per $P$ e parallela a $pi$.
______________Vecchio..._______________
La somma di due sottospazi è semplicemente la somma di ogni elemento del primo con ogni elemento del secondo. Ci sono un po' di relazioni collegate alla somma diretta. Ti conviene andarla a leggere sul libro.
Vediamo se ho capito bene
Un piano $\pi$ passante per un punto $P$ e parallelo ad una retta $r$ :
$P(2,1,0)$
$r:{(x+2y-4z),(x+z=0):}$
può essere $2x+y-5=0$ perchè prendo tutti i piani passanti per P ( $ax-2a+by-b+cz=0$ ), arrivo all'equazione $2a-4b-2c=0$ (partendo da $al+bm+cn=0$ e sostituendo l m ed n con quelli della retta r) e siccome una possibile soluzione è la terna $(2,1,0)$ la sostituisco ad $ax-2a+by-b+cz=0$ e ottengo $2x+y-5=0$
Giusto?
Non mi è chiaro però come procedere per trovare I piani e non IL piano(con le stesse condizioni)
(Giusto per conferma)
Quindi la perpendicolarità tra due rette si riduce a scegliere $a',b',c'$ tali che aa'+bb'+cc'=0 ?
Un piano $\pi$ passante per un punto $P$ e parallelo ad una retta $r$ :
$P(2,1,0)$
$r:{(x+2y-4z),(x+z=0):}$
può essere $2x+y-5=0$ perchè prendo tutti i piani passanti per P ( $ax-2a+by-b+cz=0$ ), arrivo all'equazione $2a-4b-2c=0$ (partendo da $al+bm+cn=0$ e sostituendo l m ed n con quelli della retta r) e siccome una possibile soluzione è la terna $(2,1,0)$ la sostituisco ad $ax-2a+by-b+cz=0$ e ottengo $2x+y-5=0$
Giusto?
Non mi è chiaro però come procedere per trovare I piani e non IL piano(con le stesse condizioni)
(Giusto per conferma)
Quindi la perpendicolarità tra due rette si riduce a scegliere $a',b',c'$ tali che aa'+bb'+cc'=0 ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo