Quadriche e piani proiettivi
ciao a tutti. mi trovo in difficoltà con esercizi di questo tipo:
sia in $ P^3 $ la quadrica di equazione: $ 8x_1x_4+2x_2x_3-4x_2x_4-4x_3x_4=0 $
1. si riconosca la quadrica tagliata su Q dal piano $ pi $ di equazione $ 2x_1-x_2=0 $
2. considerato lo spazio affine $ A = P^3 \\ pi $ si riconosca la quadrica $ Q_0 $ traccia affine di $ Q $ in $ A $
per il primo punto basta effettuare l'intersezione tra il piano e la quadrica? mi sembra troppo facile...
per il secondo sono invece al buio completo: come si priva uno spazio proiettivo di un piano? devo intersecare la quadrica con l'iperpiano improprrio $ x_4 = 0$?
grazie per l'aiuto.
sia in $ P^3 $ la quadrica di equazione: $ 8x_1x_4+2x_2x_3-4x_2x_4-4x_3x_4=0 $
1. si riconosca la quadrica tagliata su Q dal piano $ pi $ di equazione $ 2x_1-x_2=0 $
2. considerato lo spazio affine $ A = P^3 \\ pi $ si riconosca la quadrica $ Q_0 $ traccia affine di $ Q $ in $ A $
per il primo punto basta effettuare l'intersezione tra il piano e la quadrica? mi sembra troppo facile...
per il secondo sono invece al buio completo: come si priva uno spazio proiettivo di un piano? devo intersecare la quadrica con l'iperpiano improprrio $ x_4 = 0$?
grazie per l'aiuto.
Risposte
Il primo punto va bene, secondo me.
Per il secondo, invece, potresti trovare una proiettività $\psi$ che trasformi il piano $\pi$ in uno degli iperpiani fondamentali, per esempio $x_4 = 0$. Dopodiché determini $\psi(Q)$. A questo punto basterebbe disomogeneizzare il polinomio...
Comunque non è un argomento su cui mi sento di darti sicurezza. Prendili come dei suggerimenti da vagliare.
Per il secondo, invece, potresti trovare una proiettività $\psi$ che trasformi il piano $\pi$ in uno degli iperpiani fondamentali, per esempio $x_4 = 0$. Dopodiché determini $\psi(Q)$. A questo punto basterebbe disomogeneizzare il polinomio...
Comunque non è un argomento su cui mi sento di darti sicurezza. Prendili come dei suggerimenti da vagliare.
grazie per la risposta.
ho trovato la soluzione ad un problema simile a quello del punto 2), che il testo risolve intersecando quadrica e piano, poi stabilendo il tipo di conica all'infinito (ma per fare ciò non bisognerebbe intersecarla con l'(iper)piano improprio?):
a questo punto mi chiedo come sia la risoluzione del punto 1)...
sempre più disperatamente.
ho trovato la soluzione ad un problema simile a quello del punto 2), che il testo risolve intersecando quadrica e piano, poi stabilendo il tipo di conica all'infinito (ma per fare ciò non bisognerebbe intersecarla con l'(iper)piano improprio?):
a questo punto mi chiedo come sia la risoluzione del punto 1)...
sempre più disperatamente.
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