Quadriche e coniche
Ciao a tutti. Mi trovo a svolgere degli esercizi in vista dell'esame e su alcuni punti trovo qualche problema. Chiedo aiuto a voi per vedere cosa sbaglio.
Parto dal secondo esercizio perchè è quello che mi ha dato più difficoltà.
1) Data la conica $xy=1$ determina asintoti, centro ed assi
Allora ho ottenuto per asintoti $y=0$ e $x=0$, per assi $x+y=0$ e $x-y=0$ mentre il centro $C=(0;0)$
2) Determinare un movimento del piano che mandi i punti della conica C in punti della conica.
Credo che possa essere corretto pensare all'identità e quindi $((x'),(y'))$ $=$ $((1,0),(0,1))$ $((x),(y))$
3) Determinare l'equazione cartesiana della quadrica Q ottenuta ruotando la conica C attorno all'unico asse di simmetria che la interseca. Indicare il tipo
della quadrica ottenuta.
L'unico asse che la interseca è $x-y=0$ ma non so come scrivere la rotazione intorno a questo asse. Non so se è giusta in questo modo:
$((x'),(y'))$ $=$ $((2,-1),(-1,2))$ $((x),(y))$
Vi chiedo suggerimenti per questo ultimo punto in particolar modo.
L'altro esercizio è solo un controllo dei risultati per chi volesse dirmi se è giusto o meno.
Il primo esercizio mi dà un fascio di coniche $2x^2+ky^2+z^2+2kxy-2x+2z+k=0$ e i seguenti esercizi:
1) Classi care le quadriche degeneri del fascio e dire per quali valori di k la quadrica e' un paraboloide ellittico o iperbolico:
Andando a svolgerlo ho ottenuto che è degenere per $k=0, k=1/2 $$+-$ $sqrt(5)/2$ mentre per $k=2$ ho un paraboloide ellittico o iperbolico.
2) Determina la conica intersezione del fascio con il piano $z=0$ e classificala.
I termini in z si eliminano e per $k=0$ ottengo coniche degeneri(retta doppia...), per $k=1$ rette immaginarie incidenti e per $k=2$ una parabola
3) Determinato il fascio di rette ottenuto considerando, al variare di k, la polare di $P = (1; 0)$ rispetto alla conica. Dimostrare che il centro del fascio di rette appartiene alla conica per ogni k.
Ho cercato la polare che è $x+ky+k-1=0$ e ho preso due valori di k, rispettivamente 1 e 0 per trovare le coordinate del centro che sono $C=(1;-1)$ ed appartiene alla conica per ogni k perchè sostituendo ottengo l'identità 0=0
Grazie a tutti.
Parto dal secondo esercizio perchè è quello che mi ha dato più difficoltà.
1) Data la conica $xy=1$ determina asintoti, centro ed assi
Allora ho ottenuto per asintoti $y=0$ e $x=0$, per assi $x+y=0$ e $x-y=0$ mentre il centro $C=(0;0)$
2) Determinare un movimento del piano che mandi i punti della conica C in punti della conica.
Credo che possa essere corretto pensare all'identità e quindi $((x'),(y'))$ $=$ $((1,0),(0,1))$ $((x),(y))$
3) Determinare l'equazione cartesiana della quadrica Q ottenuta ruotando la conica C attorno all'unico asse di simmetria che la interseca. Indicare il tipo
della quadrica ottenuta.
L'unico asse che la interseca è $x-y=0$ ma non so come scrivere la rotazione intorno a questo asse. Non so se è giusta in questo modo:
$((x'),(y'))$ $=$ $((2,-1),(-1,2))$ $((x),(y))$
Vi chiedo suggerimenti per questo ultimo punto in particolar modo.
L'altro esercizio è solo un controllo dei risultati per chi volesse dirmi se è giusto o meno.
Il primo esercizio mi dà un fascio di coniche $2x^2+ky^2+z^2+2kxy-2x+2z+k=0$ e i seguenti esercizi:
1) Classi care le quadriche degeneri del fascio e dire per quali valori di k la quadrica e' un paraboloide ellittico o iperbolico:
Andando a svolgerlo ho ottenuto che è degenere per $k=0, k=1/2 $$+-$ $sqrt(5)/2$ mentre per $k=2$ ho un paraboloide ellittico o iperbolico.
2) Determina la conica intersezione del fascio con il piano $z=0$ e classificala.
I termini in z si eliminano e per $k=0$ ottengo coniche degeneri(retta doppia...), per $k=1$ rette immaginarie incidenti e per $k=2$ una parabola
3) Determinato il fascio di rette ottenuto considerando, al variare di k, la polare di $P = (1; 0)$ rispetto alla conica. Dimostrare che il centro del fascio di rette appartiene alla conica per ogni k.
Ho cercato la polare che è $x+ky+k-1=0$ e ho preso due valori di k, rispettivamente 1 e 0 per trovare le coordinate del centro che sono $C=(1;-1)$ ed appartiene alla conica per ogni k perchè sostituendo ottengo l'identità 0=0
Grazie a tutti.
Risposte
"Lory90":
2) Determinare un movimento del piano che mandi i punti della conica C in punti della conica.
Credo che possa essere corretto pensare all'identità e quindi $((x'),(y'))$ $=$ $((1,0),(0,1))$ $((x),(y))$
Ok, ma l'identita' e' abbstanza banale
C'e' la simmetria rispetto alla diagonale del I e III quadrante
$((x'),(y'))$ $=$ $((0,1),(1,0))$ $((x),(y))$
Oppure la simmetria rispetto al centro
$((x'),(y'))$ $=$ $((-1,0),(0,-1))$ $((x),(y))$
"Lory90":
3) Determinare l'equazione cartesiana della quadrica Q ottenuta ruotando la conica C attorno all'unico asse di simmetria che la interseca. Indicare il tipo
della quadrica ottenuta.
L'unico asse che la interseca è $x-y=0$ ma non so come scrivere la rotazione intorno a questo asse. Non so se è giusta in questo modo:
$((x'),(y'))$ $=$ $((2,-1),(-1,2))$ $((x),(y))$
Vi chiedo suggerimenti per questo ultimo punto in particolar modo.
No, come l'hai scritta tu non ha senso.
Se ruoti qualsiasi cosa (un punto, una retta, una parabola) nel piano attorno ad un asse del piano (ad esempio l'asse x) la curva "esce" dal piano, per cui hai una superficie nello spazio tridimensionale.
Io mi sono "divertito" a farla cosi':
- ruoti l'iperbole di -45° in modo che l'asse di rotazione diventi l'asse x
usando questa matrice di rotazione
[tex]\begin{pmatrix} \cos k & -\sin k \\ \sin k & \cos k \end{pmatrix}[/tex]
in pratica
[tex]xy = 1[/tex]
diventa
[tex](x/\sqrt{2} - y/\sqrt{2})(x/\sqrt{2} + y/\sqrt{2}) = 1[/tex]
[tex]x^2 - y^2 = 2[/tex]
che 'e una iperbole che interseca l'asse x
A questo punto e' facile fare ruotare l'iperbole attorno l'asse x perche' la mia distanza nel piano a due dimensioni $ y^2 $ , mi diventa, nello spazio 3D, $ y^2+z^2 $, cioe' una circonferenza che giace nel piano x=p
Per cui scrivero'
[tex]x^2 - (y^2+z^2) = 2[/tex]
Quindi devo tornare a ruotare l'iperbole nel senso contrario a prima. prima l'avevo ruotata di -45° quindi la ruoto di 45°
Tenuto conto che
cos t = cos(-t)
sint = -sin(-t)
la matrice di rotazione diventa
[tex]\begin{pmatrix} \cos k & \sin k \\ -\sin k & \cos k \end{pmatrix}[/tex]
Se volessi vedere la matrice completa anche con la coordinata z
[tex]\begin{pmatrix} cos k & sin k & 0 \\ -sin k & cos & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
Applicando la matrice
[tex](x/\sqrt{2}+y/\sqrt{2})^2 - ((-x/\sqrt{2} + y/\sqrt{2} )^2+z^2) = 2[/tex]
[tex]2xy - z^2 = 2[/tex]
[tex]xy = 1 + z^2/2[/tex]
Che dovrebbe essere l'equazione del paraboloide a 2 falde generato dalla rotazione di xy=1 attorno alla retta y=x
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