Quadriche a centro
salve...qualcuno potrebbe aiutarmi nella risoluzione di questo esercizio? per vedere se e' al centro devo trovare il det di quale matrice? e come faccio a trovare il centro? per una conica sarebbe diverso?
Considerate la quadrica affine Q in R3 seguente dipendente dai parametri A,B
Q(A,B) = x^2 + y^2 + 6z^2 + 4xy + 6xz + 6yz − 6x − 2Ay − 12z + B = 0
(1) Per quali valori dei parametri A e B la quadrica `e a centro?
(2) Per i valori di A e B in cui esiste, determinare un centro di Q.
(3) Per i valori A e B in cui la quadrica `e a centro, determinare il tipo affine di
Q.
Considerate la quadrica affine Q in R3 seguente dipendente dai parametri A,B
Q(A,B) = x^2 + y^2 + 6z^2 + 4xy + 6xz + 6yz − 6x − 2Ay − 12z + B = 0
(1) Per quali valori dei parametri A e B la quadrica `e a centro?
(2) Per i valori di A e B in cui esiste, determinare un centro di Q.
(3) Per i valori A e B in cui la quadrica `e a centro, determinare il tipo affine di
Q.
Risposte
Le quadriche a centro dovrebbero essere elissoidi o iperboloidi.
Prendi allora un punto $P$ che appartiene alle coniche e determina la conica $C_p$ intersezione della quadrica con il piano polare di $P$.
Questa deve essere semplicemente degenere in due rette che possono essere reali o complesse coniugate.
Considerata ora la conica assoluto (intersezione della quadrica con il piano improprio), chiamiamola $C_\infty$ si possono avere varie possibilità:
-C_P è degenere in due rette reali.
Se $C_infty$ è semplicemente degenere abbiamo un paraboloide iperbolico (e non va bene perchè non è a centro!)
Se $C_infty$ è non degenere abbiamo un iperboloide iperbolico
-C_P è degenere in due rette complesse coniugate
Se $C_infty$ è semplicemente degenere abbiamo un paraboloide ellittico (e non va bene)
Se $C_infty$ è non degenere si potranno avere iperboloide ellettico o ellissoide.
E credo che ora tu sia in grado di risolverlo
Prendi allora un punto $P$ che appartiene alle coniche e determina la conica $C_p$ intersezione della quadrica con il piano polare di $P$.
Questa deve essere semplicemente degenere in due rette che possono essere reali o complesse coniugate.
Considerata ora la conica assoluto (intersezione della quadrica con il piano improprio), chiamiamola $C_\infty$ si possono avere varie possibilità:
-C_P è degenere in due rette reali.
Se $C_infty$ è semplicemente degenere abbiamo un paraboloide iperbolico (e non va bene perchè non è a centro!)
Se $C_infty$ è non degenere abbiamo un iperboloide iperbolico
-C_P è degenere in due rette complesse coniugate
Se $C_infty$ è semplicemente degenere abbiamo un paraboloide ellittico (e non va bene)
Se $C_infty$ è non degenere si potranno avere iperboloide ellettico o ellissoide.
E credo che ora tu sia in grado di risolverlo
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