Quadrica sotto radice
Ciao a tutti,
c'è un topic anche nella sezione di analisi matematica ma ho pensato di aprirlo di qua in quanto questo mio problema è più inerente con geometria piuttosto che con analisi. Chiederò ai mod di chiudere quell'altro.
Detto questo ho la seguente quadrica:
$z= -1/(sqrt2)sqrt(x^2+y^2-6xy-2)$
E innanzi tutto devo definirla in forma canonica.
Quando aprii l'altro topic in analisi matematica qualche giorno fa, mi fu detto che per levare la radice bastava elevare al quadrato ambo i membri. giusto così, però se elevo ambo i membri al quadrato mi ritrovo un $z^2$ che non dovrebbe esserci.
Infatti il procedimento che usa il mio prof, che sia il migliore o meno non mi interessa, comporta l'utilizzo della rotazione (se come in questo caso si ha il termine xy) e poi della traslazione. E' un po' lungo e macchinoso ma funziona.
Però facendo in questo modo io ho le coordinate della rotazione solo per x e y, infatti
$ { ( x= x'cos\teta + y'sin\teta ),( x= -x'sin\teta + y'cos\teta ):} $
di conseguenza non saprei come trattare quella $z^2$.
Potete darmi una spiegazione in merito?
grazie
c'è un topic anche nella sezione di analisi matematica ma ho pensato di aprirlo di qua in quanto questo mio problema è più inerente con geometria piuttosto che con analisi. Chiederò ai mod di chiudere quell'altro.
Detto questo ho la seguente quadrica:
$z= -1/(sqrt2)sqrt(x^2+y^2-6xy-2)$
E innanzi tutto devo definirla in forma canonica.
Quando aprii l'altro topic in analisi matematica qualche giorno fa, mi fu detto che per levare la radice bastava elevare al quadrato ambo i membri. giusto così, però se elevo ambo i membri al quadrato mi ritrovo un $z^2$ che non dovrebbe esserci.
Infatti il procedimento che usa il mio prof, che sia il migliore o meno non mi interessa, comporta l'utilizzo della rotazione (se come in questo caso si ha il termine xy) e poi della traslazione. E' un po' lungo e macchinoso ma funziona.
Però facendo in questo modo io ho le coordinate della rotazione solo per x e y, infatti
$ { ( x= x'cos\teta + y'sin\teta ),( x= -x'sin\teta + y'cos\teta ):} $
di conseguenza non saprei come trattare quella $z^2$.
Potete darmi una spiegazione in merito?
grazie
Risposte
buongiorno! nessuno mi sa dare una risposta a questo quesito?
A dire il vero non capisco il tuo problema: quello /(z^2/) può esserci eccome, non è mica una funzione di due variabili, è una curva algebrica.
La definizione di quadrica su \(\mathbb{R}^n\) è la seguente:
Def. Sia \(p\in\mathbb{R}_2 [x_1,\ldots,x_n]\) un polinomio di grado al più \(2\) a coefficienti reali in \(n\) indeterminate. Una quadrica \(Q_p\) è definita come il luogo dei punti di \(\mathbb{R}^n\) in cui si annulla \(p(x_1,\ldots,x_n)\), ossia l'insieme
\[Q_p=\{\boldsymbol{\mathrm{x}}\in\mathbb{R}^n\,|\,p(\boldsymbol{\mathrm{x}})=0\} \]
Semmai la cosa di cui preoccuparsi veramente è l'esistenza di quella radice, dato che elevare allegramente al quadrato è una cosa che nemmeno l'analista più marrano potrebbe fare. Infine, ti faccio notare che la rotazione da te presentata è una rotazione su uno spazio euclideo (presumo) di dimensione \(2\), mentre la tua quadrica è definita su \(\mathrm{R}^3\) (anche se, visto che l'unico termine in \(z\) è proprio quello quadratico, direi che può bastare ruotare attorno a \(z\)).
La definizione di quadrica su \(\mathbb{R}^n\) è la seguente:
Def. Sia \(p\in\mathbb{R}_2 [x_1,\ldots,x_n]\) un polinomio di grado al più \(2\) a coefficienti reali in \(n\) indeterminate. Una quadrica \(Q_p\) è definita come il luogo dei punti di \(\mathbb{R}^n\) in cui si annulla \(p(x_1,\ldots,x_n)\), ossia l'insieme
\[Q_p=\{\boldsymbol{\mathrm{x}}\in\mathbb{R}^n\,|\,p(\boldsymbol{\mathrm{x}})=0\} \]
Semmai la cosa di cui preoccuparsi veramente è l'esistenza di quella radice, dato che elevare allegramente al quadrato è una cosa che nemmeno l'analista più marrano potrebbe fare. Infine, ti faccio notare che la rotazione da te presentata è una rotazione su uno spazio euclideo (presumo) di dimensione \(2\), mentre la tua quadrica è definita su \(\mathrm{R}^3\) (anche se, visto che l'unico termine in \(z\) è proprio quello quadratico, direi che può bastare ruotare attorno a \(z\)).
beh su un altro topic, simile, mi avevano risposto di elevare al quadrato e non ci vedo nulla di male. Almeno se non sei d'accordo dimmi perché
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