Quadrica: Luogo delle rette che proiettano dal punto V i punti di un curva.
Salve a tutti!
Ho un problema con questo tipo di esercizio, ovvero:
Dato il punto V=(1,0,0) determinare il luogo Q delle rette che proiettano dal punto V i punti della curva $ C: { ( x^2+2y^2-4xy+2z=0 ),( x+y=0 ):} $
Per svolgerlo ho preso un punto generico $ P=(alpha ,beta ,gamma )in C $ e ho sostituito le coordinate nel sistema e mi risulta:
$ { ( alpha^2+2beta ^2-4alpha beta +2gamma =0 ),( alpha=-beta ):} $ quindi mi risulta:
$ P=(-beta ,beta ,gamma ) $ con la condizione $ 7beta ^2+2gamma = 0 $ .
Adesso però sono bloccata non so più come andare avanti, non so nemmeno se quello che ho fatto fino a questo punto possa essere giusto!
Intanto grazie!
Ho un problema con questo tipo di esercizio, ovvero:
Dato il punto V=(1,0,0) determinare il luogo Q delle rette che proiettano dal punto V i punti della curva $ C: { ( x^2+2y^2-4xy+2z=0 ),( x+y=0 ):} $
Per svolgerlo ho preso un punto generico $ P=(alpha ,beta ,gamma )in C $ e ho sostituito le coordinate nel sistema e mi risulta:
$ { ( alpha^2+2beta ^2-4alpha beta +2gamma =0 ),( alpha=-beta ):} $ quindi mi risulta:
$ P=(-beta ,beta ,gamma ) $ con la condizione $ 7beta ^2+2gamma = 0 $ .
Adesso però sono bloccata non so più come andare avanti, non so nemmeno se quello che ho fatto fino a questo punto possa essere giusto!
Intanto grazie!
Risposte
Devi eliminare i parametri $\beta,\gamma$ dal sistema formato dalle equazioni della retta VP e dalla condizione che hai trovato .
Il sistema in questione è:
\begin{equation}\begin{cases}\frac{x-1}{-\beta-1}=\frac{y}{\beta}=\frac{z}{\gamma}\\7\beta^2+2\gamma=0\end{cases}\end{equation}
A conti fatti l'equazione della quadrica luogo è:
$7y^2-2z(x+y-1)=0$
Dovrebbe trattarsi di una superficie conica.
Il sistema in questione è:
\begin{equation}\begin{cases}\frac{x-1}{-\beta-1}=\frac{y}{\beta}=\frac{z}{\gamma}\\7\beta^2+2\gamma=0\end{cases}\end{equation}
A conti fatti l'equazione della quadrica luogo è:
$7y^2-2z(x+y-1)=0$
Dovrebbe trattarsi di una superficie conica.
"sandroroma":
Devi eliminare i parametri $\beta,\gamma$ dal sistema formato dalle equazioni della retta VP e dalla condizione che hai trovato .
Il sistema in questione è:
\begin{equation}\begin{cases}\frac{x-1}{-\beta-1}=\frac{y}{\beta}=\frac{z}{\gamma}\\7\beta^2+2\gamma=0\end{cases}\end{equation}
A conti fatti l'equazione della quadrica luogo è:
$7y^2-2z(x+y-1)=0$
Dovrebbe trattarsi di una superficie conica.
Prima di tutto grazie mille,
Però volevo chiederti come hai fatto ed esplicitare i parametri così facilmente. Io ho provato a risolvere l'equazione della retta $ (x-1)/(-beta -1) =(y)/(beta ) =(z)/(gamma ) $ e mi risulta:
$ beta = (-y)/(x+y-1) $ e $ gamma = zbeta /y $ ho provato a sostituire nella condizione $ 7beta ^2+2gamma =0 $ e non mi risulta.
Sicuramente sbaglio qualcosa io
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Devi esplicitare $\gamma$:
$\gamma=z/y*(-y)/(x+y-1)=(-z)/(x+y-1)$
Sostituendo nella relazione si ha:
$7*((-y)/(x+y-1))^2+2*((-z)/(x+y-1))=0$
Riducendo a forma intera:
$7y^2-2z(x+y-1)=0$
$\gamma=z/y*(-y)/(x+y-1)=(-z)/(x+y-1)$
Sostituendo nella relazione si ha:
$7*((-y)/(x+y-1))^2+2*((-z)/(x+y-1))=0$
Riducendo a forma intera:
$7y^2-2z(x+y-1)=0$
Ok, tutto chiaro... Grazie mille mille!
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