Quadrica in R3
Tracciare uno schizzo schematico della quadrica in R3 di equazione:
$y^2-z+1=0$
ho provato con y=0 quindi intersezione con il piano xz viene z=1, poi per y=0 non ci sono intersezioni, e la x non esiste, come faccio a capire comè fatta se ho solo z=1? so che i segni alternati denotano un iperbole, ma questo solo nel piano o anche in R3? La matrice che si usa per vedere dal determinante se è ua parabola un ellisse o un iperbole in questo caso non si può usare perchè siamo in R3? Chi riesce ad aiutarmi?
grazie!
$y^2-z+1=0$
ho provato con y=0 quindi intersezione con il piano xz viene z=1, poi per y=0 non ci sono intersezioni, e la x non esiste, come faccio a capire comè fatta se ho solo z=1? so che i segni alternati denotano un iperbole, ma questo solo nel piano o anche in R3? La matrice che si usa per vedere dal determinante se è ua parabola un ellisse o un iperbole in questo caso non si può usare perchè siamo in R3? Chi riesce ad aiutarmi?
grazie!
Risposte
"lalla23":
Tracciare uno schizzo schematico della quadrica in R3 di equazione:
$y^2-z+1=0$
a prima vista un cilindro parabolico
come fai a vederlo a prima vista? z=1 sarebbe l'intersezione del cilindro parabolico con l'asse z?
"lalla23":
come fai a vederlo a prima vista? z=1 sarebbe l'intersezione del cilindro parabolico con l'asse z?
Scusa, stavo cercando una conferma tra i mie vecchi libri. Ricordavo che aveva una equazione del tipo $y-x^2=0$ e il tuo, fatti gli opportuni cambiamenti è di questa famiglia. Fammi fare un ripassino perchè è passato decisamente del tempo...
"lalla23":
Tracciare uno schizzo schematico della quadrica in R3 di equazione:
$y^2-z+1=0$
ho provato con y=0 quindi intersezione con il piano xz viene z=1, poi per y=0 non ci sono intersezioni, e la x non esiste, come faccio a capire comè fatta se ho solo z=1? so che i segni alternati denotano un iperbole, ma questo solo nel piano o anche in R3? La matrice che si usa per vedere dal determinante se è ua parabola un ellisse o un iperbole in questo caso non si può usare perchè siamo in R3? Chi riesce ad aiutarmi?
grazie!
nell'equazione non compare la x e questo ti dice subito che se contiene un punto contiene tutta la retta parallela all'asse x passante per quel punto e vale anche il viceversa, e questo ti dice sostanzialmente che è un cilindro con asse parallelo all'asse x, quindi ti basta conoscere una sezione trasversale per poter fare uno schizzo dell'insieme e questo lo fai disegnando sul piano yz la tua equazione che scritta in modo diverso è $z=y^2+1$, fai il grafico di questa e per ogni punto fai passare una retta perpendicolare al piano (tutto in prospettiva perchè hai solo due dimensioni sul foglio
). ti torna?
[mod="Gugo82"]Sezione sbagliata, un po' più di attenzione la prossima volta.
Sposto in Geometria e Algebra Lineare.[/mod]
Sposto in Geometria e Algebra Lineare.[/mod]
Una quadrica in forma canonica si può scrivere :
(1) $alphax^2+betay^2+gammaz^2=delta$
(2) $alphax^2+betay^2=2deltaz$
In estrema sintesi le quadriche non degeneri si dividono in sei tipi, a seconda dei segni dei coefficienti di (1) e (2).
A noi interessano quelle degeneri e, tra queste i cilindri.
A seconda dei valori assunti da $alpha, beta, gamma, delta$ possiamo avere quattro tipi di cilindri quadrici:
$ " " $ $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ $=>$ cilindro ellittico
$ " " $ $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ $=>$ cilindro iperbolico
$ " " $ $-x^2/a^2-y^2/b^2=1$ $=>$ cilindro ellittico immaginario
$ " " $ $x^2/a^2=2z$ $=>$ cilindro parabolico
Se vuoi, puoi dare un'occhiata qui oppure qui
Qui in pdf una trattazione generale più approfondita.
(1) $alphax^2+betay^2+gammaz^2=delta$
(2) $alphax^2+betay^2=2deltaz$
In estrema sintesi le quadriche non degeneri si dividono in sei tipi, a seconda dei segni dei coefficienti di (1) e (2).
A noi interessano quelle degeneri e, tra queste i cilindri.
A seconda dei valori assunti da $alpha, beta, gamma, delta$ possiamo avere quattro tipi di cilindri quadrici:
$ " " $ $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ $=>$ cilindro ellittico
$ " " $ $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ $=>$ cilindro iperbolico
$ " " $ $-x^2/a^2-y^2/b^2=1$ $=>$ cilindro ellittico immaginario
$ " " $ $x^2/a^2=2z$ $=>$ cilindro parabolico
Se vuoi, puoi dare un'occhiata qui oppure qui
Qui in pdf una trattazione generale più approfondita.
grazie, ma scusa essendo $z=y^2+1$ non è una parabola? non lo vedo il cilindro con asse parallelo a x...
ps:per gugo82, scusa starò più attenta a postare la prossima volta, era un esercizio di un esonero di analisi2 ed essendo le quadriche nel programma di analisi2 pensavo di postare nella giusta sezione...poi non mi sembra così immediata la soluzione...ciao grazie
ps:per gugo82, scusa starò più attenta a postare la prossima volta, era un esercizio di un esonero di analisi2 ed essendo le quadriche nel programma di analisi2 pensavo di postare nella giusta sezione...poi non mi sembra così immediata la soluzione...ciao grazie
Ho provato a fare un disegno col MathML, ma non riesco a rendere l'idea, perciò descrivo (se qualcuno più bravo ci vuole provare...).
Parliamo di cilindro parabolico. Per intenderci è fatto come questo, ma il tuo è ruotato di $90^o$ in senso orario e se ne sta con la parte più bassa a quota z=1 (parallelamente all'asse x). Vedrai che con qualche esercizio cominceranno a diventarti familiari come le coniche nel piano cartesiano.
Almeno nella loro forma canonica.
fammi sapere
Parliamo di cilindro parabolico. Per intenderci è fatto come questo, ma il tuo è ruotato di $90^o$ in senso orario e se ne sta con la parte più bassa a quota z=1 (parallelamente all'asse x). Vedrai che con qualche esercizio cominceranno a diventarti familiari come le coniche nel piano cartesiano.
Almeno nella loro forma canonica.
fammi sapere
rileggi attentamente quello che ti ha scritto rubik: certo che $z=y^2+1$ è una parabola (nel piano yz o in qualsiasi piano ad esso parallelo)! questo significa che ogni sezione con piani paralleli a yz (x=costante) è una parabola... allora non è un cilindro (parabolico, appunto), avendo tutte le generatrici parallele all'asse x ?
grazie Piero, ho capito! Cilindro parabolico! grazie!!!
grazie anche a adaBTTLS!!!
prego!
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