Quadrica del cilindro dalla quadrica del cono
Mi servirebbe capire "graficamente" il motivo per cui :
data l'equazione del generico cono :
$(x-x_v)^2/a^2+(y-y_v)^2/b^2=(z-z_v)^2/c^2$
Possiamo ottenere l'equazione del cilindro: $x^2+y^2=r^2$
semplicemente impostando $z=0$ ed $a=b=r$ , $c=h$ ed assumendo che il cono sia con vertice nell'origine
data l'equazione del generico cono :
$(x-x_v)^2/a^2+(y-y_v)^2/b^2=(z-z_v)^2/c^2$
Possiamo ottenere l'equazione del cilindro: $x^2+y^2=r^2$
semplicemente impostando $z=0$ ed $a=b=r$ , $c=h$ ed assumendo che il cono sia con vertice nell'origine
Risposte
[hl][/hl]Ciao CallistoBello,
Beh no, se il vertice è nell'origine $V(x_v, y_v, z_v) -= O(0,0,0) $; sezionando col piano orizzontale di equazione $z = 0 $ si ottiene un cerchio di raggio nullo. Se invece $a = b = r $ e si seziona col piano orizzontale di equazione $z = c $ si ottiene $x^2 + y^2 = r^2 $
Infine, se $a = b = r $ e $c = h $ si ottiene $z^2 = h^2/r^2 (x^2 + y^2) \implies z = |h/r| \sqrt{x^2 + y^2} $
Beh no, se il vertice è nell'origine $V(x_v, y_v, z_v) -= O(0,0,0) $; sezionando col piano orizzontale di equazione $z = 0 $ si ottiene un cerchio di raggio nullo. Se invece $a = b = r $ e si seziona col piano orizzontale di equazione $z = c $ si ottiene $x^2 + y^2 = r^2 $
Infine, se $a = b = r $ e $c = h $ si ottiene $z^2 = h^2/r^2 (x^2 + y^2) \implies z = |h/r| \sqrt{x^2 + y^2} $
La guercia del tasso della quercia del Tasso...
"megas_archon":
La guercia del tasso della quercia del Tasso...
Una volta tanto, credo di comprendere e condivido.
"pilloeffe":
Beh no, se il vertice è nell'origine V(xv,yv,zv)≡O(0,0,0); sezionando col piano orizzontale di equazione z=0 si ottiene un cerchio di raggio nullo
Ok, quindi non si può derivare l'equazione del Cilindro da quella generica quadrica
Il fatto è che: a lezione , il prof ha suggerito che
**"con opportuni accorgimenti" è possibile derivare dalla quadrica generale:
$(x-x_v)^2/a^2+(y-y_v)^2/b^2=(z-z_v)^2/c^2$
le equazioni di SFERA, CILINDRO e CONO.
Però, non mi è chiaro quale sia l'aspetto geometrico dietro questo ragionamento.
Ad esempio: nel caso del CILINDRO abbiamo che:
"pilloeffe":
Se invece a=b=r e si seziona col piano orizzontale di equazione z=c si ottiene x2+y2=r2
Equazione che per $z in R$ , mi restituisce un CILINDRO INFINITO.
Però , di base\seguendo una logica geometrica,
noi da quella Equazione generale ci andiamo a ricavare
l' Equazione di un CERCHIO, intesa come sezione di cono per un fissato c.
Quindi geometricamente non mi sembra del tutto "vero" il **.
"megas_archon":
La guercia del tasso della quercia del Tasso...
.
"CallistoBello":
[quote="pilloeffe"]Beh no, se il vertice è nell'origine V(xv,yv,zv)≡O(0,0,0); sezionando col piano orizzontale di equazione z=0 si ottiene un cerchio di raggio nullo
Ok, quindi non si può derivare l'equazione del Cilindro da quella generica quadrica
Il fatto è che: a lezione , il prof ha suggerito che
**"con opportuni accorgimenti" è possibile derivare dalla quadrica generale:
$(x-x_v)^2/a^2+(y-y_v)^2/b^2=(z-z_v)^2/c^2$
le equazioni di SFERA, CILINDRO e CONO.
Però, non mi è chiaro quale sia l'aspetto geometrico dietro questo ragionamento.
[/quote]
No, aspetta un attimo.
Se il prof ha veramente detto questo e' preoccupante perche' non e' vero.
Secondo me il prof ha detto una cosa diversa, ma ci arrivo dopo.
Allora questo e' un cono e fin qui ci siamo.
$(x-x_v)^2/a^2+(y-y_v)^2/b^2=(z-z_v)^2/c^2$
E' un cono a 2 falde per essere onesti.
Non puo' diventare una sfera perche' l'equazione della sfera e'
$(x-x_v)^2/a^2+(y-y_v)^2/b^2+(z-z_v)^2/c^2 = R^2$
mentre noi abbiamo
$(x-x_v)^2/a^2+(y-y_v)^2/b^2-(z-z_v)^2/c^2 = 0$
e ci sono 2 problemi per far diventare la nostra equazione del cono una sfera:
- il termine in $z$ dovrebbe avere segno positivo, e non c'e' modo di far diventare il segno positivo lavorando con dei quadrati
- il raggio "nostro" e' zero.
Quindi abbiamo raggiunto almeno una certezza. Quell'equazione non diventera' mai una sfera.
Puo' diventare un cilindro ? Si, ma bisogna usare un trucco.
Sostituisco $c$ con $z_v$
$(x-x_v)^2/a^2+(y-y_v)^2/b^2=(z-z_v)^2/z_v^2$
e poi mando $z_v$ all'infinito, con un processo al limite. Ovvero
$lim_{z_v -> \infty}{(x-x_v)^2/a^2+(y-y_v)^2/b^2=(z-z_v)^2/z_v^2}$
A questo punto $z$, che e' un valore finito, diventa trascurabile rispetto a $z_v$, quindi $z-z_v \approx - z_v$, e alla fine ottengo
$(x-x_v)^2/a^2+(y-y_v)^2/b^2=1$
che e' un cilindro di raggio $1$.
Chiaramente posso introdurre un fattore moltiplicativo e rendere il raggio a piacere.
Questo e' l'opportuno accorgimento di cui parla il prof.
Ora veniamo a quanto detto sempre dal prof.
"CallistoBello":
Il fatto è che: a lezione , il prof ha suggerito che
**"con opportuni accorgimenti" è possibile derivare dalla quadrica generale:
$(x-x_v)^2/a^2+(y-y_v)^2/b^2=(z-z_v)^2/c^2$
le equazioni di SFERA, CILINDRO e CONO.
Però, non mi è chiaro quale sia l'aspetto geometrico dietro questo ragionamento.
Secondo me il prof ha suggerito che:
"con opportuni accorgimenti" è possibile derivare dalla quadrica generale le equazioni di SFERA, CILINDRO e CONO.
Cosi' ci siamo, ma e' una cosa diversa.
La quadrica generale e'
$a(x-x_v)^2 + b(y-y_v)^2 + c(z-z_v)^2 + d = 0$.
(non e' vero che e' la quadrica generale perche' mancano tutti i termini misti, ma il concetto e' valido)
Da quell'equazione e' possibile ricavare sfera, cilindro, cono, iperboloide, paraboloide, ecc... giocando con $a,b,c,d$.
Se hai fatto geometria e algebra lineare dovresti aver visto che tutte le quadriche si possono rappresentare con una matrice simmetrica 4x4.
Tale matrice e' sempre diagonalizzabile e ci si riconduce alla quadrica generale che ho scritto.
I termini $a,b,c,d$ sono gli elementi sulla diagonale e attraverso di essi e' possibile classificare tutte le quadriche.
Qui c'e' un riferimento:
https://it.wikipedia.org/wiki/Quadrica
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