Quadrica contenente conica e passante per due punti

[peppe_89-votailprof]

Salve,
dovrei trovare l'equazione della quadrica contenente la conica
$ { ( x^2-y=0 ),( z=0 ):} $
e passante per i punti P1 (1, 0, 0) e P2 (0, 0, 1)

Ho per prima cosa determinato il fascio di quadriche contenente la conica:

$ x^2-y+z(ax+by+cz+d)=0 $

Vorrei ora imporre il passaggio per P1 e P2 ed eliminare così due dei 4 parametri a,b,c,d.

Risulta però che il fascio non passa per P1.

Sbaglio qualcosa?
Grazie a chi vorrà aiutarmi

[Studente Anonimo]

Ciao, una quadrica generica ha equazione

$ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0$.

[peppe_89-votailprof]

Sì, io volevo partire non dalla generica quadrica, ma dal fascio di quadriche contenente quella conica.
Non capisco dove o se il mio ragionamento sia sbagliato.

Partendo invece dalla generica quadrica (come suggerisci tu) come posso imporre che la quadrica contiene quella conica?

[Bokonon]

E come fa a passare per P2 se Z=0?

[Studente Anonimo]

Peppe, il fatto è che ti stai riferendo a una teoria che non conosco, io farei così: data la quadrica generica che ho scritto, imponendo il passaggio per i due punti trovo due condizioni sui coefficienti. Poi sostituisco $y=x^2$ e $z=0$, trovo che un certo polinomio di quarto grado in $x$ dev'essere identicamente nullo, e alla fine le condizioni che trovo sono $b=d=a+h=g=j=0$ e $a=0$, $c+i=0$. Cioè trovo le quadriche

$z(cz+ex+fy-c)=0$

Queste sono tutte e sole le quadriche che passano per i punti dati e che contengono la conica data. Quindi ce ne sono infinite e sono tutte degeneri (si spezzano in un'unione di due piani).