Quadrica

[process11]

l'esercizio dice questo: sia $A^(3)(R)$ il 3-spazio affine dotato del riferimento affine standard. Per ogni $ k in R$ definiamo la quadrica
$Q(k)=k^2z^2+2xy-2xz-2x+2z=0$ devo rispondere a questi due quesiti:
1)si dimostri che per ogni $ k in R$ la quadrica non è degenere
2)si determini la forma canonica di $Q(k)$ al variare di k.
allora per la prima devo verificare che la matrice associata alla quadrica abbia determinante diverso da zero?
per intenderci devo verificare che il det di questa matrice $((0,-1,0,1),(-1,0,1,-1),(0,1,0,0),(0,-1,0,k^2))$ ? uso laplace?
ok forse ho trovato che il det è $k^2+1$ è quindi per nessun k è uguale a zero..
per il secondo punto devo valutare questa sottomatrice $((0,1,-1),(1,0,0),(-1,0,k^2))$ e poi..?

[j18eos]

Ma sei sicuro di aver calcolato bene la matrice? Oppure ho sbagliato io?

[process11]

oh caspita, ho dimenticato un $1$ in fondo alla prima colonna....bè questo mi complica tutto, perchè se uso laplace con la terza riga mi viene $-1det((0,0,1),(-1,1,-1),(1,0,k^2))$ e poi rifacendo laplace mi viene che il det è uguale a 1. però mi è sparito il $K^2$...che boiata ho fatto?oppure nessuna boiata, basta dire che il fatto che sia degenere o no non dipende da k?
bè, lo provo a far domattina con un pò più di lucidità

[j18eos]

A parte che per Laplace il determinante è: [tex]$(-1)^{1+2}\mathrm{det}\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&1&-1\\1&0&k^2\end{pmatrix}\neq0$[/tex] e non dipende da [tex]$k$[/tex], quindi ottieni che le quadriche [tex]$Q(k)$[/tex] sono non degeneri, in particolare irriducibili.

[process11]

si ok grazie alla fine avevo fatto giusto (quasi)

[j18eos]

Prego (tanto pur'io avevo scritto quasi bene ogni cosa)!

[byob12]

per quanto riguarda il 2° punto.

le quadriche non degeneri hanno 2 diverse forme canoniche

$\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+\lambda_3Z^2+\gamma=0$ per le quadriche a centro (ellissoidi e iperboloidi)
$\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+-2\deltaZ=0$ per i paraboloidi[/list:u:wnjrph3a]
detta A la matrice simmetrica associata alla quadrica e Q la sottomatrice relativa alla parte quadratica, allora si ha che:
i $\lambda_i$ sono gli autovalori non nulli della matrice Q
$\gamma=det(A)/det(Q)$
$\delta=sqrt(-det(A)/I_2)$
$I_2$ è la somma dei minori della diagonale principale di Q

quindi devi stabilire al variare di $k$ quando le quadriche hanno centro.
per farlo ti basta controllare det(Q), se è $!=0$ allora si tratta di quadriche a centro

facendo 2 conti dovresti trovare che $det(Q)=-k^2$ che ovviamente si annulla solo per $k=0$