Quadrettatura in $n$-cubi

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Per dimostrare che \(F=\{[a_1,b_1]\times...\times[a_n,b_n]\subset\mathbb{R}^n\}\) è totalmente limitato il testo che sto seguendo dice

"C. Presilla, in Elementi di analisi complessa":eoddxea6:\(\forall\varepsilon>0\) si consideri una quadrettatura di $F$ in cubi $n$-dimensionali di lato $\leq\epsilon$: il corrispondente numero finito di vertici può essere usato come l'insieme finito di punti ${x_1,...,x_N}$, tale che \(F=\cup_{i=1}^N B(x_i,\varepsilon)\)

Ora, se è $\mathbb{R}^n$ con $n=1$ o $n=2$, è chiaro che cosa succede prendendo i vertici dei quadrati o cubi, ma in generale non riesco a vedere perché \(\cup_{i=1}^N B(x_i,\varepsilon)\) ricopre tutto $F$.
Vedo immediatamente che per ogni \(x=(x_1,...,x_n)\in F\) posso scegliere un vertice \(x_i=(x_{i,1},...,x_{i,n})\) tale che \(d(x_i,x)=\sqrt{(x_{i,1}-x_1)^2+...+(x_{i,n}-x_n)^2}<\sqrt{n\varepsilon^2}=\sqrt{n}\varepsilon\), ma non riesco a capire come accertarsi che esista per ogni punto di $F$ un vertice tale che \(d(x_i,x)<\varepsilon\)...
Qualcuno che abbia più dimestichezza (ci vuole poco ad averne più di me) con spazi euclidei $n$-dimensionali?
Grazie di cuore a tutti!

[killing_buddha]

$n$ e' fissato; cosa non va a considerare tutti i cubi di lato \(< \epsilon / \sqrt{n}\)?

[DavideGenova1]

Ci avevo pensato, ma supponevo che l'autore intendesse proprio che le palle aperte siano di raggio $\epsilon$ uguale alla lunghezza dell'1-lato degli $n$-cubi, come funzionerebbe in $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$.
Se anche tu suggerisci di intendere ciò, sarà proprio quello che intende l'autore...
$\infty$ grazie!!!